Beh,il limite in 0 è ovviamente 0 perchè l'integranda è limitata vicino a 0 (il limite dell'integranda per t tendente a 0 è 1, e ciò si verifica immediatamente).
Con facili conti si verifica poi che l'integranda è sempre positiva, dunque che [tex]f \ge 0[/tex] ovunque. In realtà, molto facilmente si dimostra che [tex]f>0[/tex] ovunque.
Per t tendente a [tex]+\infty[/tex], usando il teorema della media integrale si ha che (nel seguito, [tex]x_0 \in [x,2x][/tex]):
[tex]\displaystyle f(x)=(2x-x)h(x_0)=x \frac{1}{1+x_0 \log(x_0)} \le x \frac{1}{x_0 \log(x_0)} \le \frac{1}{\log(x_0)} ,[/tex]
e visto che [tex]x_0 \ge x[/tex] si ha che [tex]f(x)[/tex] tende a 0 per x tendente a [tex]+\infty[/tex] (insomma, l'ho scritta da cani, scrivila un po' meglio).
Per più motivi (tendenza a 0 a 0, o tendenza a 0 a [tex]+\infty[/tex]), f non ammette minimo, e l'estremo inferiore è 0.
Infine, la derivata è:
[tex]d/dx f(x)=2h(2x)-h(x) ,[/tex]
con h integranda: un banale studio di tale funzione (in linea teorica è banale, voglio dire ad Analisi 1 si imparano mille strumenti per affrontarlo, poi magari in questo caso non è così banale, non lo so) permette di identificare gli intervalli di monotonia e, credo, anche il massimo (in linea teorica di sicuro, in linea pratica spero sia calcolabile esplicitamente, se non lo è pazienza)
