studio segnatura forma quadratica

[zio_mangrovia]

Buongiorno a tutti,
sono uno studente "autodidatta" e sto provando a calcolare la segnatura della forma quadratica:

ho provato con Sylvester ma la presenza di troppi zeri nella matrice me ne impedisce l'uso, poi i determinanti vengono quasi tutti zero.
Ho provato con il completamento dei quadrati e ottengo:
ma sto sbagliando qualcosa e non riesco a capirlo perché noto n.3 quadrati con il segno meno e n.2 con il segno più e le variabili sono solo 4 per cui la segnatura non torna.
Potete cortesemente darmi una mano?

Con il calcolo degli autovalori il polinomio caratteristico esce fuori piuttosto complicato, quindi come studiare questa forma quadratica in modo veloce?
Grazie

[GIMUSI]

con Sylvester hai una serie: + - 0 + quindi deve essere necessariamente + - - +

lo si vede bene anche con il completamento dei quadrati:

[zio_mangrovia]

[GIMUSI]

[zio_mangrovia]

[GIMUSI]

[zio_mangrovia]

Grazie di nuovo per il grosso aiuto che mi hai dato.