Matrice associata rispetto alle basi canoniche ?

[k2world]

Ciao a tutti.
A breve ho l'esame di algebra lineare e non riesco proprio a capire come risolvere il punto 1 dell'esercizio che ho messo in allegato.
Qualche buon'anima mi spiegherebbe come si fa?
Grazie in anticipo.

[GIMUSI]

prova a dare un'occhiata agli esercizi risolti postati qui nella sezione "Algebra lineare" sotto la dicitura "Applicazioni lineari", ci dovrebbero essere almeno 5 schede con esempi risolti oltre a discussioni sui metodi

ad esempio qui

[GIMUSI]

allego qui un possibile svolgimento

[k2world]

Grazie mille!

Però ho un dubbio, non si dovrebbe fare così?

f(v₁)=v₂=1e₁+1e₂+0e₃
f(v₂)=v₃=0e₁+0e₂+1e₃
f(v₃)=v₂+v₃=1e₁+1e₂+1e₃
Esprimiamo la trasposta della matrice dei coefficienti
(1...0...1)
(1...0...1)=B
(0...1...1)

[GIMUSI]

[k2world]

Sì ma è rispetto alle basi canoniche

[GIMUSI]

[k2world]

Scusa avevi ragione. Ho provato ad utilizzare un altro metodo per la risoluzione, ovvero mi ricavo la f(e1), f(e2), f(e3) attraverso procedimenti diversi ed il risultato viene uguale al tuo.
Grazie ancora!

[k2world]

Per quanto riguarda il secondo punto, per calcolare il rango di f devo mettere in colonna le immagini di f?

Ovvero:

f(v1)= (1,1,0)
f(v2)=(0,0,1)
f(v3)=(1,1,1)

E poi ridurre a gradini la matrice ottenuta giusto? Il rango dovrebbe essere 2 no?

[GIMUSI]

[k2world]

Scusa ma se i v non fossero una base potrei comunque calcolare il rango di f(v) col metodo delle colonne dominanti no?

[GIMUSI]

[albertoandrenucci_]

Per verificare che l'insieme forma una base di ci basta verificare che il rango della matrice che ha per colonne i tre vettori ha rango massimo. Questo si fa facilmente con il calcolo del determinante (che viene ) oppure con la semplice riduzione a scala secondo l'algoritmo di Gauss.

Sapendo che abbiamo che



è proprio la matrice che stiamo cercando. E credo che da qui sia semplice terminare gli altri punti. Per il calcolo del rango puoi procedere senza problemi con l'algoritmo di Gauss che ti riduce la matrice a scalini.

[Massimo Gobbino]