Simulazione scritto d'esame 5

[Neomatrix092]

Come faccio a trovare la matrice associata all'applicazione lineare nel 3° esercizio?

[EDIT]
Ho trovato il modo di calcolarla, mi viene:

3 0 0 0
6 2 0 0
0 4 1 0
0 0 2 0

giusto?

[nomeutente]

A me viene allo stesso modo. Qualcuno ci dica se è giusto

[Massimo Gobbino]

Se spiegate anche *come* vi è venuta quella matrice (scegliendo quali basi, facendo quali conti), forse sarà più facile rispondervi in maniera utile

[Neomatrix092]

La matrice io l'ho trovata nella base x^3, x^2, x, 1

L'ho calcolata partendo da un generico p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, e sostituendolo nell'espressione che definisce l'applicazione lineare. A conti fatti ottengo: 3ax^3 + (2b+6a)x^2 + (4b+c)x +2c, che passando alla matrice viene appunto quella scritta sopra.

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 5"

vd. revisione successiva

[Massimo Gobbino]

Premetto che non ho controllato nessun calcolo, sperando che altri lo facciano (e aggiungerei che sarebbe doveroso che altri collaborassero al lavoro fatto da GIMUSI per tutti). Mi limito quindi ad osservazioni "strategiche" sul modo di procedere.

(1a) Non è correttissimo parlare di "piano" per indicare un sottospazio di dim 3 di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Il termine più usato è "iperpiano", che indica di solito un sottospazio di dimensione n-1 in uno spazio di dimensione n. Con "piano" di solito si intende un sottospazio di dimensione 2 in uno spazio di dimensione n. Il termine più corretto in assoluto è "sottospazio affine di dimensione <tot>". Il procedimento seguito va benissimo; segnalo solo come alternativa la possibilità di minimizzare la distanza dal punto variabile della retta.

(2c) Classificare ... si può fare a diversi livelli ... il top sarebbe di ricavare tutti gli elementi geometrici, cioè in questo caso rotazione di quale angolo intorno a quale retta seguita da simmetria rispetto a quale piano.

(4a) Qui ho 3 osservazioni. Primo: con Sylvester 3-2-1 mi sembra molto più comodo, lasciando agli altri metodi al più la discussione dei casi degeneri. Secondo (importante): quando viene la somma di 2 quadrati (occhio sempre che siano di roba linearmente indipendente) *non* può essere definita positiva. Terzo: come indicato nel fascicoletto di esercizi, determinare la segnatura vuol dire, nella sua interpretazione più integralista, determinare il numero di +,-,0 (la fatica che si fa è praticamente la stessa che si fa per dire se è definita positiva/negativa).

(4c)

Concludo invitando nuovamente tutti a dare una mano a GIMUSI. Davvero volete farmi vedere solo all'esame quello che scrivete?

[GIMUSI]

[GIMUSI]

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 5" in rev01

rispetto alla prima versione (da cestinare) sono state apportate diverse correzioni sulla base delle osservazioni formulate dal Prof. Gobbino ed in particolare:

punto (1a)
- per indicare un sottospazio di dim 3 di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] è stato utilizzato il termine più appropriato di "iperpiano" (=sottospazio di dimensione n-1 in uno spazio di dimensione n);
- il termine "piano" è riservato al sottospazio di dimensione 2 da determinare;
- la determinazione del piede e dell'altezza è stata effettuata anche minimizzando la distanza dal punto variabile della retta.

punto (2c)
- è stato corretto un errore nella classificazione mediante punti fissi (mi risulta che non ne esistano);
- la classificazione è stata sviluppata determinando tutti gli elementi geometrici che la caratterizzano.

punto (4a)
- sono stati corretti alcuni errori nella risoluzione con il metodo del completamento dei quadrati;
- è stato sviluppato anche il metodo alternativo con Sylvester che effettivamente in tal caso è molto più efficiente, rapido e chiaro;

punto (4c)
- nella precedente versione avevo travisato il testo;
- la M richiesta deve essere ortogonale quindi, essendo[tex]B_a[/tex] simmetrica, per il teorema spettrale c.n.s. perché [tex]B_a[/tex] sia diagonalizzabile all'identità è che abbia tre autovalori coincidenti [tex]\lambda=1[/tex] con [tex]MG=3[/tex];
- questa condizione è stata utilizzata per rispondere al quesito.

[Neomatrix092]

A me non è del tutto chiaro cosa è stato fatto per risolvere il punto b del quarto esercizio... cioè ho visto la soluzione di GIMUSI ma non riesco a capirla ...

[GIMUSI]

[Neomatrix092]

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

Il conto di GIMUSI l'ho capito: ha fatto GS rispetto a [tex]B_0[/tex] a partire dalla canonica. La matrice M ottenuta funziona: basta fare la verifica.

Il conto di Neomatrix092 non l'ho capito Da quale base sei partito nel fare GS? Quale matrice M hai ottenuto alla fine? Funziona?

@GIMUSI: per il (4c) dopo aver osservato che deve essere simile all'identità basta controllare la traccia

[Massimo Gobbino]