Simulazione scritto d'esame 4

[Massimo Gobbino]

[GIMUSI]

con Sylvester si impara sempre qualcosa...non avevo mai pensato di impiegarlo anche per determinare i sottospazi nei quali la forma è definita positiva...proverò a svolgere qualche esempio per vedere se ho afferrato l'idea

[Gabe]

Avevo intuito che non andasse bene sempre...però non sapevo in quali casi!
Per quanto riguarda il completamento dei quadrati avete qualche consiglio/suggerimento? perchè qualche volta mi trovo in difficoltà a riportarmi in una forma "comoda"

[GIMUSI]

[Gabe]

Nell'esercizio 2 punto a, ti torna che un sottospazio possa essere [tex]W=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex] oppure [tex]W=span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex]?

[GIMUSI]

[Gabe]

In simulazione scritto d'esame 4, esercizio 2, punto a, il quale chiede di determinare un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma quadratica risulta definita positiva

[GIMUSI]

[Gabe]

da [tex]q(x,y,z)=y^2+2xy-6yz+xz[/tex], mi sono riportato alla forma: [tex]q(x,y,z)=(x+y+1/2z)^2-x^2-7yz-1/4z^2[/tex].

A questo punto ho notato che se prendo [tex]x=0, y=t, z=0[/tex], quindi [tex]V1=(0,t,0)[/tex] ottengo [tex]q(V1)>0[/tex].

Se prendo [tex]x=t, y=s, z=0[/tex], ottengo [tex]V2=(t,s,0)[/tex] e [tex]q(V2)>0[/tex].

Quindi un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma è definita positiva è [tex]V=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex].

Allo stesso modo ho ragionato per trovare un altro sottospazio [tex]W=Span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex].

Sinceramente la lineare indipendenza non l'avevo controllata, è un errore?

[GIMUSI]

[Gabe]

[Gabe]

Avrei anche un altra domanda: Se la matrice associata alla forma quadratica B, la quale è simmetrica, fosse stata definita positiva, avrei potuto trovare gli autovettori ortogonali e avrei potuto normalizzarli...ottenuta la base ortonormale M, mi trovo una nuova matrice C diagonale, con la quale posso scomporre la forma quadratica, giusto?
Ora, visto che per a=1 la matrice non è definita positiva, non posso scomporre la forma quadratica mediante una nuova matrice C.
Però, posso comunque provare a diagonalizzarla, se autovalori e molteplicità me lo consentono, e scomporre la forma con questa nuova matrice diagonale D?

[Massimo Gobbino]

[GIMUSI]

[GIMUSI]