Generatori e Span

[Angelica27]

Prof, ho un dubbio!
Negli esercizi di Generatori e Span, quando controllo che i vettori dati siano linearmente indipendenti, a volte è capitato che venisse (per esempio) a = - c e b = c e d = 0. Quindi i vettori sono linearmente dipendenti e posso scrivere, prendendo ad esempio c = 1, - v1 + v2 + v3 = 0, cioè v1 = v2 + v3. Quindi v4, essendo d = 0, non viene contemplato. Ma nel momento in cui io vado a togliere un po' di vettori in modo che mi rimanga una base e a calcolare la dimensione dello Span, tolgo v1... e anche v4? O non c'entra nulla che sia venuto d = 0? Mi spiego meglio: quando vado a ricontrollare la lineare indipendenza per i vettori rimasti, oltre a v2 e v3, devo includere anche v4? Cioè (ancora "meglio"), se verifico che v2 e v3 sono linearmente indipendenti, dim Span {v2, v3} = 2? O dovevo calcolarla comprendendo anche v4?
Spero di essermi spiegata; in caso contrario, mi scuso
Grazie in anticipo, comunque

[GIMUSI]

credo che v4 non possa essere escluso a priori, a meno che i v non siano in R2

[Massimo Gobbino]

Penso che Angelica27 si riferisca all'ultimo esercizio di Generatori e Span 1, e forse a quell'esempio specifico bisognerebbe orientare la risposta.

[e.rapuano]

Io avevo pensato che il quarto vettore, avendo coefficiente nullo, fosse l'unico non eliminabile mentre ognuno dei restanti poteva essere sostituito con una combinazione lineare degli altri 2...quindi io ho dato come soluzione: dim Span = 3 e poi ho detto che gli eliminabili sono o v1 o v2 o v3...è giusto?

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

In questo thread sono state detto cose giuste, ma in maniera piuttosto imprecisa. Le conclusioni sono quelle di e.rapuano: la dimensione dello Span è 3 e si possono eliminare tutti tranne v4. Per verificarlo basta mettere i vettori in una matrice (come righe o come colonne?) e fare il rango, alla Gauss o come D-rango. Per sapere, ed avere la certezza, che un certo vettore può essere eliminato, basta e bisogna accertarsi che il rango della matrice in cui è stato eliminato sia ancora 3, il che si può fare ancora alla Gauss o con il D-rango. Tuttavia, se si è fatta bene la fase precedente, questo è quasi automatico. Perché?

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

Sì, direi che è corretto. Il succo è che Gauss fornisce immediatamente un po' di vettori che vanno bene (quelli con i pivot), ma non esclude immediatamente gli altri. In questo esempio si poteva dire subito che il quarto ed il quinto devono sopravvivere entrambi, perché altrimenti le ultime due righe avrebbero avuto al più un pivot, il che non è buono. Per vedere poi che dei primi 3 si poteva eliminare uno qualunque bisogna fare qualcosa in più, come nella tua soluzione.

Aggiungo che facendo gli esercizi di Generatori e Span 1 e 2 la cosa dovrebbe chiarirsi ampiamente, specie nelle situazioni in cui i vettori da eliminare sono 2. Un motivo in più per farli .

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test 22 "Generatori e Span 1"

[e.rapuano]

[GIMUSI]

[e.rapuano]

Mi trovo tutto

[GIMUSI]