Dimostrazione teorema di struttura delle applicazioni lineari

[gianfranco]

Alla cortese attenzione del Forum.

Oggetto: dubbio nella dimostrazione del teorema di struttura delle applicazioni lineari
(rif. Lezione 16 a.a. 2013/2014 e/o Lezione 17 a.a. 2014/2015)

Quesito:
Nella dimostrazione del teorema di struttura dobbiamo dimostrazione due cose:
1) che esiste una applicazione lineare tra due spazi vettoriali V e W (e questo significa dimostrare sia l'esistenza e sia la linearità)
2) che questa applicazione lineare sia unica

Riguardo al punto 1) si esprime un qualunque altro vettore V di v come combinazione lineare della base scelta in V. E fin qui nessun problema.
Il problema sorge nel passaggio successivo perchè di fatto si applica la definizione di linearità alla funzione f. In altri termini, per dare legittimità al passaggio (somma delle f e costanti portate fuori) si sta dicendo che la f è una applicazione lineare, cosa che dobbiamo dimostrare!!
E dobbiamo dimostrare non solo la linearità, ma anche l'esistenza!!.

Si cerca di fornire risposta a questo problema nella "verifica della linearità". Ma anche qui ritorniamo al problema di partenza perchè:
1) anzitutto si sta dicendo che esiste (e non lo sappiamo!)
2) si riapplica nuovamente la definizione di applicazione lineare (somma delle f e costanti portate fuori) cosa che non saremmo autorizzati a fare non avendo dimostrato che la f (oltre ad esistere) è anche lineare.

[Massimo Gobbino]