Forme quadratiche

[Leonardo]

Ho una piccola curiosità
Nella lezione 52 a pagina 210 viene detto che se det B > 0 in matrici 2x2 allora è definita positiva se sulla diagonale c'è almeno un numero positivo e definita negativa se sulla diagonale c'è almeno un numero negativo,su R mi torna in quanto sulla diagonale devono avere lo stesso segno,ma ho provato con una matrice definita in C: M=(v1,v2) con v1=(2,-2i) e v2=(-2i,-1) colonne di M. Il determinante vale 2,quindi è maggiore di 0 ma a seconda di come applico sylvester ottengo due due risultati diversi cioè due permanenze o una variazione e una permanenza. Ora gli autovalori sono: (1+isqrt(7)/2 ; (1-isqrt(7)/2 ovviamente complessi coniugati. Se uso invece il metodo del completamento dei quadrati ottengo dalla forma quadratica definita dalla matrice M (sqrt(2)x-isqrt(2)y)^2 +3y^2 ma anche con questo metodo posso dire poco per via dell'i anche se a partire dalla forma quadratica si può vedere che la forma quadratica è indefinita.

Il mio dubbio è questo: Si possono usare comunque i 4 metodi spiegati nella lezione in C e se si in quali condizioni è possibile farlo e quali considerazioni possiamo fare?

[Massimo Gobbino]

Nononono, occhio! La segnatura, così come l'essere definite positive/negative, sono concetti che hanno senso solo sui reali. Il motivo è che il segno ha senso per i numeri reali, ma non per i complessi (non ci sono numeri complessi positivi o negativi).

La teoria delle forme quadratiche sui complessi è pertanto paradossalmente più semplice che sui reali (l'unico invariante è sostanzialmente il rango, cioè il numero di autovalori 0).

[Leonardo]

Ok grazie mille della risposta