Dopo il chiarimento per i casi n=2 e n=3, per il caso generale mi pare di aver capito che:
1)
unicità:
- si dimostra con l’algoritmo di gauss, nel senso che operando alla gauss ortodosso si può sempre giungere ad una forma triangolare superiore per la quale, in virtù delle proprietà basic, sappiamo calcolare il “papabile” determinante;
- l’algoritmo di gauss ortodosso funziona perché, in virtù delle proprietà basic, sappiamo che esso non modifica il valore del determinante (
dubbio sugli eventuali scambi di righe che ne cambiano il segno;
possibile soluzione: non mi pare sia un’operazione indispensabile, cioè mi pare che si possa sempre triangolarizzare anche senza scambi di righe);
- pertanto con gauss si dimostra che, data una matrice nxn, se il determinante esiste (soddisfacimento delle basic) esso ha un unico valore.
2)
esistenza- per mostrarne l’esistenza si ricorre agli sviluppi di laplace applicandoli per induzione;
- il passo base si fa utilizzando il caso n=2 o n=3;
- per il passo induttivo si mostra che, nota l’espressione giusta del det per il caso n, si è in grado di costruirne (con la formula di laplace) un’altra “papabile” per il caso n+1 che soddisfa le proprietà basic.
