Orientazione di una superficie

[Federico.M]

Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio:
Calcolare l'integrale della funzione sul dominio dato assegnato mediante una caratterizzazione del suo bordo:

Nello svolgere l'esercizio, il risultato ottenuto è di segno opposto a quello indicato dal testo, pertanto ho pensato che l'orientazione della normale alla superficie del dominio fosse opposta a quella convenzionalmente riconosciuta come positiva.
A questo punto mi chiedevo se fosse possibile intuire il verso della normale a partire dalla parametrizzazione assegnata. In questo caso, ad esempio, l'intersezione del dominio con il piano genera una curva il cui sostegno è percorso in senso orario e, quindi, opposto a quello riconosciuto come positivo. Stando così le cose, è possibile che anche la normale alla superficie curva che delimita , calcolata attraverso la matrice jacobiana

ed i suoi minori , e , sia orientata in direzione opposta a quella cercata, cioè verso l'interno di ?
Nel caso la mia osservazione fosse giusta, è corretto in generale un approccio di questo tipo ?
Ringrazio in anticipo per eventuali chiarimenti, correzioni e suggerimenti.

[ghisi]

Il problema del tuo approccio è che quale è il verso di percorrenza positivo del bordo dipende da "dove si trova la superficie" rispetto al bordo. Nel caso specifico si tratta di un "cilindro" con asse (non è esattamente un cilindro perchè le sezioni a fisso non sono cerchi). E' quindi abbastanza facile capire come deve essere orientata la normale esterna sulla superficie laterale (sui due coperchi è ovvio): quando e sono positive deve avere componenti e positive. A questo punto basta scegliere valori dei parametri per cui sei in queste condizioni e controllare dove "punta la normale".

[Federico.M]

Grazie per le precisazioni e le indicazioni professoressa Ghisi. Allego file con soluzione dell'esercizio dove faccio uso dei suoi suggerimenti...

[ghisi]

E' corretto.

[Federico.M]

Riguardando l'esercizio ho scoperto un errore nel calcolo dell'integrale finale. Allego file con correzione... Chiedo scusa..