Curva non semplice

[Federico.M]

Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio ma sono arrivato ad un punto morto e non riesco a proseguire.
Sia data la curva per . Verificare se la curva data è chiusa e semplice.
Essendo e , la curva non è chiusa.
Il problema sorge quando si va a verificare se la curva è semplice. Applicando la strategia della definizione negata, come da appunti del professor Gobbino, io trovo che la curva " sembra " essere semplice, tuttavia il testo ed il grafico della curva indicano che non lo è. Dove è l'errore ? Quale è la strategia giusta per risolvere l'esercizio ? Grazie in anticipo per eventuali suggerimenti e correzioni.
Allego file con svolgimento dell'esercizio..

[Massimo Gobbino]

Beh, in realtà basta trovare due punti diversi in cui la curva assume lo stesso valore, ad esempio


Il problema (uno potrebbe dire) è come farsi venire in mente due punti strani del genere.

Basta procedere bovinamente come nella definizione negata . Imponendo l'uguaglianza delle prime componenti



troviamo, oltre al caso banale, t=s, anche il caso



Ricavando s e sostituendo nelle seconde componenti otteniamo l'equazione (che fine ha fatto il segno meno?)



Già in questo momento, pensando ai grafici di LHS e RHS, appare in tutta evidenza che ci sono valori di t (diversi da ) per cui vale l'uguaglianza (ma perché questo non ci piace quel valore?). Se vogliamo trovarne uno esplicito, con un po' di precorso imponiamo


ed ecco svelato l'arcano

[Federico.M]

Grazie per i suggerimenti professor Gobbino… Ha perfettamente ragione (.. come era naturale che fosse ). I due valori da lei indicati si possono ricavare anche dai calcoli che avevo svolto in precedenza, basta considerare il caso non banale in cui annulla la prima equazione. Sostituendo poi nella seconda otteniamo , da cui otteniamo
Scegliendo, ad esempio, per il valore , otteniamo e
Nel caso scegliessimo per il valore , otterremmo e, quindi, saremmo ancora nel caso banale scartato in partenza.
Il segno , come indica nel suo svolgimento, sparisce per la disparità della funzione seno elevata successivamente al quadrato.