Stokes e parametrizzazione

[phi101]

Ciao a tutti, posto un esercizio (preso dallo scritto dei meccanici del 2011_1).

[tex]S:=\{(x,y,z) \in R^3 : (x^2+y^2)^2 + z^4 + x^2z^2=1 \text{ con } z\geq0\}[/tex]

La superficie è orientata prendendo in (0,0,1) la normale nella direzione di (0,0,1).

F(x,y,z)=(zx,x+z,xy) Calcolare il flusso di rotF attraverso S.

Parametrizzare S è abbastanza difficile (credo) per cui preferisco farlo con il bordo e usare Stokes. Il punto è che, questa superficie, prima di disegnarla con il plotter, non avevo la minima idea di come fosse fatta. La mia domanda è : c'è qualche modo per visualizzarla o almeno visualizzarne il bordo? Ho visto che alcuni, semplicemente perché [tex]z\geq0[/tex], dicono: "pongo [tex]z=0[/tex] e quello è il bordo"; che è una cosa che "funziona" anche in questo caso, in questo esempio [tex]0\leq z \leq1[/tex] ...e se il bordo fosse stato "sopra"? No problem! Pongo [tex]z=1[/tex]. Si OK però come capisco dove sta effettivamente il bordo ?

[phi101]

O peggio ancora se il bordo variasse al variare di z?

[ghisi]

Quando la superficie e' data in forma implicita, come nel tuo caso, una regola "empirica" è che se non ci sono anche delle disugualianze non ha bordo (pensa alla superficie della sfera [tex]x^2+y^2+z^2 = 1[/tex]) se invece ci sono delle disugualianze vuol dire che in qualche modo stiamo "tagliando" la superficie e questi tagli ti danno il bordo. Ad esempio se hai una superficie sferica con la condizione [tex]x+y\geq 0[/tex], stai tagliando la superficie con il piano [tex]x+y= 0[/tex] e quindi per ottenere il bordo basta sostituire [tex]x = -y[/tex] nell'equazione della superficie per cui il bordo è una curva (ellisse) sul piano [tex]x+y= 0[/tex] in [tex]R^3[/tex] , data da [tex]x = -y[/tex] e [tex]2x^2 + z^2 = 1[/tex]. A questo punto la puoi parametrizzare facilmente (o trovare facilmente un'altra superficie che la ha come bordo).

E' chiaro che non sempre è facile scrivere il bordo della superficie (o capire come è fatta la superficie) se questo è molto complicato, ma questo non succede negli esercizi che vi vengono proposti. Questo però è vero per qualsiasi tipo di esercizio: se si scrive un funzione a caso in [tex]R^2[/tex] non si riescono neppure a trovare i punti stazionari!

Spesso un buon metodo per visualizzare una superficie è capire come sono fatte le sue intersezioni con i piani paralleli ai piani coordinati.

Devo dire che in un certo senso ho *barato* nelle spiegazioni: bisognerebbe prima chiedersi se la superficie è regolare o no (altrimenti tutto quanto sopra può non funzionare), ma io a lezione non ho parlato di teorema del Dini etc., quindi negli esercizi proposti da me il problema non si pone...