Scritto d'esame 2012

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La curva è:
[tex](x(t),y(t))=[(sin(y))^3,(cos(y))^3][/tex]
[tex]0[/tex]<=t<=[tex]2\pi[/tex]
Viene chiesto di scrivere la retta tangente alla curva per [tex]t=\pi/4[/tex] sia in forma parametrica sia in forma cartesiana (implicita).
Applicando le formule ho trovato [tex]x=y[/tex] e [tex][(sqrt2+(3tsqrt2)/4),(sqrt2-(3tsqrt2)/4][/tex]. Fin qui chiedo conferma giusto per sicurezza.
Poi viene chiesta la lunghezza della curva e qui risolvendo l'integrale della formula ottengo [tex]0[/tex], il che mi sembra strano all'inizio. Poi mi sono accorto che la curva negli estremi dati (gli stessi dell'integrale) è chiusa, questo ha dato un senso al risultato trovato. Quindi mi viene da chiedermi se la lunghezza della curva sia [tex]2\pi[/tex] o meno e di come faccio a dimostrarlo.
Infine viene chiesto di calcolare l'integrale seguente sul dominio D che è il dominio racchiuso dalla curva iniziale:
[tex]\[
\int x\,dxdy
\][/tex]
Anche qui trovo che il risultato è [tex]0[/tex], è corretto?

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