Applicazione della formula di Gauss-Green
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- Iscritto il:martedì 11 febbraio 2014, 11:20 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Ciao a tutti! Nello svolgere i vecchi testi d'esame ho riscontrato qualche difficoltà quando si trattava di calcolare l'integrale di una funzione su un dominio racchiuso da una curva data in forma parametrica! Per capirci meglio riporto un esercizio:
Sia D il dominio di [tex]R^2[/tex] racchiuso dall'asse delle x, dalla retta x=2 e dalla curva [tex]gamma[/tex] data da (x(t), y(t))=[tex](t+t^3, t+t^2)[/tex] con t compreso fra 0 e 1. Calcolare l'integrale su D di x dxdy
Vorrei più che altro chiarimenti su come trovare il campo vettoriale E che mi permette di trasformare l'integrale sul dominio D in un integrale lungo la curva [tex]gamma[/tex]; ad esempio nell'esercizio citato dovrei considerare divE=x e f=1 oppure f=x e divE=1 ?? E come arrivo a scrivere l'integrale della forma differenziale lungo la curva [tex]gamma[/tex] ??
Grazie a tutti in anticipo
P.s. Non so ancora scrivere bene con il LaTex quindi mi scuso in anticipo se non sono riuscito ad essere chiarissimo!
Sia D il dominio di [tex]R^2[/tex] racchiuso dall'asse delle x, dalla retta x=2 e dalla curva [tex]gamma[/tex] data da (x(t), y(t))=[tex](t+t^3, t+t^2)[/tex] con t compreso fra 0 e 1. Calcolare l'integrale su D di x dxdy
Vorrei più che altro chiarimenti su come trovare il campo vettoriale E che mi permette di trasformare l'integrale sul dominio D in un integrale lungo la curva [tex]gamma[/tex]; ad esempio nell'esercizio citato dovrei considerare divE=x e f=1 oppure f=x e divE=1 ?? E come arrivo a scrivere l'integrale della forma differenziale lungo la curva [tex]gamma[/tex] ??
Grazie a tutti in anticipo
P.s. Non so ancora scrivere bene con il LaTex quindi mi scuso in anticipo se non sono riuscito ad essere chiarissimo!
- Massimo Gobbino
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green
E io, già che ci sono, sposto nella sezione giusta ...
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green
Grazie mille per la spiegazione!
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green
Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.
Dato il dominio [tex]\Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}[/tex]
Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione
Dato il dominio [tex]\Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}[/tex]
Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green
Il bordo di [tex]\Omega[/tex] è formato dalla curva [tex]\gamma =(t^2 ,t^3 +t), \; 0\leq t \leq 1[/tex] (che è orientata negativamente) dalla curva [tex]\gamma_1 = (t,0), \; 0\leq t \leq 1[/tex] (che così parametrizzata è orientata positivamente) e dalla curva [tex]\gamma_2 = (1,t), \; 0\leq t \leq 2[/tex] (che così parametrizzata è orientata positivamente).
L'area di [tex]\Omega[/tex] si può scrivere quindi ad esempio come
[tex]-\int_{\partial^{+}\Omega }y \, dx = -\int_{\gamma_1} y \, dx -\int_{\gamma_2} y \, dx + \int_{\gamma} y \, dx[/tex]
L'area di [tex]\Omega[/tex] si può scrivere quindi ad esempio come
[tex]-\int_{\partial^{+}\Omega }y \, dx = -\int_{\gamma_1} y \, dx -\int_{\gamma_2} y \, dx + \int_{\gamma} y \, dx[/tex]
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green
Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green
Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....
Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.
Funzione [tex]\phi = y[/tex]
Bordo del dominio [tex]{(cost, sent) t \in [0, \pi]} \cup {y=0}[/tex]
A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori
Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....
Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.
Funzione [tex]\phi = y[/tex]
Bordo del dominio [tex]{(cost, sent) t \in [0, \pi]} \cup {y=0}[/tex]
A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori
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