Complessi in forma cartesiana

[Onizuka]

Salve. Come potrei risolvere questo problema:

Determinare tutti i numeri complessi tali che: z^2 + 8z (coniugato) = 20.

So solo che devo portare tutto in forma cartesiana e poi procedere con i calcoli, però mi blocco qui e non so piu come andare avanti:

[Andrea 2]

non sono di università, ma comunque si potrebbero riorganizzare i termini come (a+ib)^2 +8(a - ib) - 20=0. Sarebbe stato meglio che i segni delle due parentesi fossero stati uguali così magari risolvendo rispetto ad (a+ib) o ad (a - ib) si poteva arrivare a qualcosa...guardandola così si direbbe che quest'equazione ha la forma di una conica anche se quelle "i" danno un pò fastidio, però magari con degli strumenti di università si potrebbe ricavare qualcosa per via geometrica...o sennò si può porre y=ib e x=a così che l'equazione che hai scritto diventa un'equazione del tipo x^2 + 2xy + y^2 + 8x - 8y - 20=0, che dovrebbe essere una semplice parabola descritta in un piano cartesiano con asse delle ascisse l'asse dei numeri reali e con asse delle ordinate l'asse dei numeri complessi (credo che questa sia la rappresentazione di gauss, ma non ne sono sicuro)..A questo punto, non avendo idea di cosa significhhi il problema che hai scritto (sono del liceo e dei numeri primi conosco qualcosa che ho letto nel libro "L'enigma dei numeri primi" ) non posso fare più molto! Spero almeno che non ti ho fatto solo perdere tempo!

[Onizuka]

Tranquillo, tempo non me ne hai fatto perdere, anzi, per certi aspetti alcune cose che hai scritto potrebbero essere effettivamente utili, però non riesco lo stesso ad arrivare alla fine.

[Andrea 2]

a meno che dobbiamo trovare an'altra strada completamente. In questa forma un numero complesso si scrive come (numero)+i(numero). L'equazione che hai scritto nel post quindi si può riorganizzare come (a^2 - b^2 + 8a - 20) + i(2ab - 8b) = 0 perchè a, b e 20 sono numeri normali, mentre 2ab e 8b sono i numeri che moltiplicano i. A questo punto dobbiamo trovare i valori di a e di b tali che il numero complesso dato, che sarebbe quello che ho scritto poco fa, sia uguale a zero. Per essere uguale a zero un numero complesso scritto in questa forma deve avere (o credo che dovrebbe avere ) per forza (a^2 - b^2 + 8a - 20)=0 e (2ab - 8b)=0. Si tratta quindi di risolvere il sistema di equazioni formato da queste due cose che vengono fuori e si ricava a=4 e b=sqrt(28), per cui dovrebbe esistere un solo numero che risponde alle caratteristiche date, e questo numero dovrebbe essere 4+i x sqrt(28)...non ho nemeno fatto la prova se questo numero funziona perchè il procedimento che ho fatto sopra è puramente speculativo perchè non ne so molto di numeri complessi! Comunque almeno sono arrivato a qualcosa di più concreto di una semplice conica!!

[Andrea 2]

ATTENZIONE!!!!!!!!!!!!! la b viene "radice quadrata di 28"!!! Non so perchè nel messaggio precedente al posto dell'8 e della parentesi spunta la faccina con gli occhiali...

[Andrea 2]

in teoria questo tipo di metodo si potrebbe anche generalizzare perchè qualunque tipo di funzione tipo quella di sopra (non avrei idea di come essere più formale) alla fine si riduce ad una forma del tipo (numero)+i(numero)=0, per cui si crea un sistema di due equazioni e si dovrebbe arrivare a qualcosa di abbastanza concreto. Nel caso di un numero maggiore di 2 incognite mi pare che si potrebbe fare qualcosa con le matrici (forse era solo il caso di 2 equazioni a 3 incognite che si poteva risolvere con le matrici con delle soluzioni che poi venivano espresse come cose del tipo [costante]x[t] con t che varia su tutto R...). Se le incognite però fossero solo 2 allora può essere che questo metodo non sia poi terribilmente malvagio ! In generale però preferisco un tipo di approccio più geometrico. La parabola che si veniva a creare nel mio precedente intervento se non altro indicava che si poteva scrivere "a" in funzione di "ib" o vice versa quindi avevamo già una notevole restrizione sui possibili numeri complessi che potevamo scegliere. Dopo di che bastava notare che, se la somma di due numeri complessi scritti in questa forma è un numero reale, allora le parti immaginarie si devono annullare tra di loro, e da un punto di vista geometrico questo equivale a dire intersecare la parabola con tutte le rette che passano per due punti aventi come ordinate i punti 2abi e -8bi con 2abi=8bi. In questo caso particolare siamo stati fortunati perchè la condizione implica a=4 e quindi tutto quello che segue, ma anche un tipo di approccio geometrico dovrebbe essere un metodo non troppo malvagio se abbiamo solo 2 incognite...almeno spero!

[Ardit]

Ciao.
Rispondo io anche a nome di onizuka perchè l'esercizio si stava facendo insieme. Ed è proprio così come dici tu, bisogna raccogliere i termini reali da quelli immaginari, e risolvere l'equazione uguale a zero. Questo fa si che come hai detto tu porta a risolvere un sistema di due equazioni, trovando per la parte reale a = 4 e per la parte immaginaria b = sqrt 28. Quindi l'equazione originaria ha una soluzioni (e spero solo una) con quei valori che hai trovato tu. Perchè sostituendo con z = 4 + i sqrt 28, l'equazione dell'esercizio torna. Non mi ci resta che ringraziarti per l'aiuto. Alla prossima

[Andrea 2]

beh, mi fa piacere di essere stato un pò d'aiuto ! Almeno non ho sgarrato completamente il problema... alla prossima!