limite notevole

[sharkbait]

caro professore, non mi torna l'ultimo limite della scheda limiti 6: limite per x che tende a 0+ di radice x-esima di 4 alla x + 9 alla x tutto fratto 2... spero abbia capito! le soluzioni dicono 6, il derive pure, ma come al solito omette i passaggi intermedi rivelandosi inutile! HELP!!!

{[(4^x) + (9^x)]/2}^(1/x)

[marcox^^]

So che è tardi, però...

[(4^x+9^x)/2]^(1/x)
=
4[(2 + (9/4)^x - 1 )/2]^(1/x)
=
4[1+ ( (9/4)^x -1 )/2 ]^(1/x)
=
4e^ (log[1+ ( (9/4)^x -1)/2])/x)

ora sappiamo che lim (x-->0) (log[1+ ( (9/4)^x -1)/2])/ [((9/4)^x - 1 )/2]=1

Non troppo lecitamente, sostituiamo il valore e riduciamo il nostro limite a

lim (x-->0+)4e^ ( ((9/4)^x-1)/(2x) )

sappiamo che lim (x-->0+) ((9/4)^x-1)/(x) = log(9/4)

quindi, il risultato è

4e^(1/2log(9/4))=6

spero di non aver copiato male qualche passaggio!