Trasformata di Laplace

[Giacomo]

Buongiorno a tutti,

Vorrei porre una domanda su un argomento molto ricorrente nelle applicazioni, la trasformata di Laplace. Qual è la teoria che sta alla base di questa operazione matematica? Vorrei sapere come si inquadra in un contesto teorico abbastanza generale, al di là della mera definizione che è facilmente reperibile.
Inoltre, dato che nelle applicazioni si usa spesso per lo studio di funzioni reali, sarebbe possibile definirla senza usare i numeri complessi?

Grazie mille in anticipo!

[maimoneg]

Non ho la tastiera scientifica, quindi sostituirò i simboli col loro nome.
essendo
s = -(sigma + jomega)t
quel fattore che vi è nell'integrale
-e^s
consente di trattare anche i segnali (le funzioni) cisoidali crescendi e decrescenti.
Invece con Fourier dove vi è solo:
-e^jomega
tutto viene trasformato nel sominio della sola frequenza (pulsazione) omega.
Spero sia sufficiente.
Ciao

[Giacomo]

Prima di tutto, grazie mille per la risposta

Quello che volevo sapere io è se esisteva una teoria più generale che inglobasse la trasformata di Laplace come suo caso particolare. Forse non c' è ed è stata introdotta semplicemente per "allargare" il dominio della trasformata di Fourier a funzioni che possono anche divergere ma il cui integrale risulta comunque convergente se moltiplicate per opportune esponenziali. Forse non c' è niente di più generale dietro... Non so.