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Ho un dubbio riguardo l’assioma di continuità. Il prof. Gobbino dice che si può dedurre usando la completezza e la proprietà Archimedea, ma non riesco a capire in che modo la proprietà Archimedea si usa per dedurre che le due successioni sono di Cauchy.

Grazie

Prova ad esplicitare meglio il tuo dubbio: come faresti per dimostrare che le due successioni sono di Cauchy?

Grazie per la risposta. Penso di aver capito dove va usata la proprietà Archimedea. Serve per essere sicuri che per ogni esista un per cui si possa scrivere . È giusto?
Mi rimane però un dubbio concettuale. Se si definiscono i reali usando la completezza invece che l’assioma di continuità è necessario anche assumere che i reali siano uno spazio metrico su cui quindi ha senso fare i limiti? Poiché nella definizione di limite si assume che l’epsilon sia reale, non è un po’ come mangiarsi la coda definire i reali assumendo che si possa fare il limite quando la definizione di limite stesso richiede aver definito i reali? Non so, forse mi sfugge qualcosa.

Mi continua a sfuggire solo un piccolo dettaglio, l’oggetto è una distanza. Ma le distanze, indipendentemente dall’insieme di partenza, non hanno sempre come insieme d’arrivo ? Perché in tal caso allora anche dovrebbe essere a priori reale (e quindi la definizione di limite richiederebbe sempre l’uso dei reali). Oppure è possibile definire distanze che hanno come insieme d’arrivo lo stesso insieme di partenza, anche se questo è diverso da ?
Spero di essere riuscito a spiegare il mio dubbio anche se forse risulta un po’ contorto.

Ah, dimenticavo. Il fatto che ogni successione di Cauchy converga implica anche la scelta di una determinata distanza a priori? Visto che una successione non può essere di Cauchy per qualunque definizione di distanza. Oppure lo è?

Adesso ho capito.
Grazie mille, gentilissimo.