Assioma di continuità e completezza

[keine_ahnung]

Ho un dubbio riguardo l’assioma di continuità. Il prof. Gobbino dice che si può dedurre usando la completezza e la proprietà Archimedea, ma non riesco a capire in che modo la proprietà Archimedea si usa per dedurre che le due successioni sono di Cauchy.

Grazie

[Massimo Gobbino]

Prova ad esplicitare meglio il tuo dubbio: come faresti per dimostrare che le due successioni sono di Cauchy?

[keine_ahnung]

Grazie per la risposta. Penso di aver capito dove va usata la proprietà Archimedea. Serve per essere sicuri che per ogni esista un per cui si possa scrivere . È giusto?
Mi rimane però un dubbio concettuale. Se si definiscono i reali usando la completezza invece che l’assioma di continuità è necessario anche assumere che i reali siano uno spazio metrico su cui quindi ha senso fare i limiti? Poiché nella definizione di limite si assume che l’epsilon sia reale, non è un po’ come mangiarsi la coda definire i reali assumendo che si possa fare il limite quando la definizione di limite stesso richiede aver definito i reali? Non so, forse mi sfugge qualcosa.

[Massimo Gobbino]

[keine_ahnung]

Mi continua a sfuggire solo un piccolo dettaglio, l’oggetto è una distanza. Ma le distanze, indipendentemente dall’insieme di partenza, non hanno sempre come insieme d’arrivo ? Perché in tal caso allora anche dovrebbe essere a priori reale (e quindi la definizione di limite richiederebbe sempre l’uso dei reali). Oppure è possibile definire distanze che hanno come insieme d’arrivo lo stesso insieme di partenza, anche se questo è diverso da ?
Spero di essere riuscito a spiegare il mio dubbio anche se forse risulta un po’ contorto.

Ah, dimenticavo. Il fatto che ogni successione di Cauchy converga implica anche la scelta di una determinata distanza a priori? Visto che una successione non può essere di Cauchy per qualunque definizione di distanza. Oppure lo è?

[Massimo Gobbino]

[keine_ahnung]

Adesso ho capito.
Grazie mille, gentilissimo.