Equazioni trigonometriche - AIUTO [SOLVED]

[mateusz]

Salve a tutti, sono nuovo in questo forum, non seguo direttamente le lezioni del Prof. Gobbino ma ho usufruito delle sue videolezioni sulla propedeutica e su analisi 1 quindi vorrei postare un paio di equazioni ed espressioni trig. che non riesco del tutto a risolvere, spero che qualcuno possa darmi una dritta:

PRIMA EQUAZ: [tex]2cos^2(2x) + cos(2x) = 0[/tex]

Pongo [tex]2x = a[/tex], quindi [tex]2cos^2(a) + cos(a) = 0[/tex]
Pongo [tex]cos(a) = t[/tex] , quindi [tex]2t^2 + t = 0 , t_1 = 0[/tex] e [tex]t_2 = -1/2[/tex]

[tex]cos(a) = 0[/tex] , da cui [tex]a = \pm \pi/2 + 2K\pi[/tex] ==>> [tex]2x = \pm \pi/2 + 2K\pi , x = \pm \pi/4 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

[tex]cos(a) = -1/2[/tex] , da cui [tex]a = \pi - \pi/3 + 2K\pi[/tex] ==>> [tex]2x = 2\pi/3 + 2K\pi , x = \pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Per simmetria: [tex]cos(a) = -1/2 , a = \pi/3 - \pi + 2K\pi[/tex]==>> [tex]2x = -2\pi/3 + 2K\pi , x = -\pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Quindi le MIE soluzioni sono: [tex]x = \pm \pi/4 + K\pi \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Domanda, perche' nel testo di riferimento mettono come soluzioni: [tex]x = \pi/4 + K\pi/2 \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex] ??

SECONDA EQUAZ: [tex]\sqrt{3}sinX = cosX[/tex]

Il mio ragionamento:

[tex]\sqrt{3}/2 sinX - 1/2 cosX = 0[/tex]

INIZIO SISTEMA
[tex]cos\varphi = \sqrt{3}/2[/tex]
[tex]sin\varphi = -1/2[/tex]
FINE SISTEMA
Ottengo che [tex]\varphi = \pi/6[/tex]

[tex]cos(\pi/6) sinX - sin(\pi/6) cosX = 0[/tex]

Dalle formule degli archi associati:

[tex]sin(x - \pi/6) = 0[/tex]
[tex]x - \pi/6 = 2K\pi , x = \pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]
[tex]x - \pi/6 = \pi + 2K\pi , x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Quindi le mie soluzioni sono: [tex]x = \pi/6 + 2K\pi \cup x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Il testo pone come soluz: [tex]x = \pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

TERZA ED ULTIMA: [tex]4sin^2X - 2\sqrt{3}sinXcosX - 2cos^2X - 1 = 0[/tex]

Supponiamo che [tex]x = \pi/2 + 2K\pi \Longrightarrow cosX = 0 , sinX = 1[/tex] La nostra equaz si ridurrebbe a [tex]sin^2X = 1/4 \Longrightarrow cosX \not= 0[/tex]

[tex]\frac{4sin^2X}{cos^2X} -2\sqrt{3}\frac{sinXcosX}{cos^2X} - \frac{2cos^2X}{cos^2X} - \frac{sin^2X}{cos^2X} - \frac{cos^2X}{cos^2X}[/tex]

Quindi...

[tex]4tanX - 2\sqrt{3}tanX - 3 - tan^2X = 0[/tex]
[tex]tan^2X - 4tanX + 2\sqrt{3}tanX + 3 = 0[/tex]
[tex]tan^2X + (2\sqrt{3} - 4)tanX + 3 = 0[/tex] ...da qui in poi non so come procedere? Il piano d'azione sarebbe porre [tex]tanX = t[/tex] e trovare [tex]t_1 , t_2[/tex] ma non so come calcolare i valori di t visto che ho radice di radice e viene fuori un paciugo.


Spero che sia chiara la formattazione e spero che qualcuno sia cosi' gentile da darmi una mano qui.

Ciao a tutti,

Mateusz.

[GIMUSI]

[GIMUSI]

[GIMUSI]

[mateusz]

Ciao GIMUSI,

grazie mille per la tua risposta che e' stata molto chiara e di grande aiuto, pero' rimane un dubbio...perche' le due scritture sono la stessa cosa nella PRIMA?
Vorrei precisare che ho cominciato lo studio della trigonometria da poco quindi e' possibile che mi sfugga qualche cosa...se mi potessi spiegare perche' sono la stessa cosa te ne sarei molto grato.

...se ho capito bene allora...anche la seconda soluzione la si puo' scrivere come:

[tex]x = \pi/3 + K\pi/2[/tex] ??

Mateusz.

[GIMUSI]

[mateusz]

aaaahhhhhh si certo ok ci sono!!

Tutto chiaro adesso!

Grazie ancora!