Succ. ricorrenza 2, es 8
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- Iscritto il:giovedì 23 dicembre 2010, 14:54 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
la successione è
a(n+1)= n* (an)^3
Beh... non so come fare a dimostrare che tende a 0...
coi carabinieri non mi sembra interessante...
con la monotonia credo di dover dimostrare che 0<an<1...
ma non riesco a dimostrare an<1 ... non so come trattare la "n" che rende non autonoma...
a(n+1)= n* (an)^3
Beh... non so come fare a dimostrare che tende a 0...
coi carabinieri non mi sembra interessante...
con la monotonia credo di dover dimostrare che 0<an<1...
ma non riesco a dimostrare an<1 ... non so come trattare la "n" che rende non autonoma...
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Re: Succ. ricorrenza 2, es 8
Potresti dimostrare che a_n è compresa tra zero e 1/n. Per i carabinieri, essa tende a zero.
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Re: Succ. ricorrenza 2, es 8
Per dimostrare che 0<an<1/n ho utilizzato l'induzione in questo modo, dimmi se può andar bene:
passo base: per n=1 0<1/2<1
passo induttivo: se 0<a_n<1/n, allora 0< a_n+1 < 1/(n+1)
Applico ad a_n la relazione per passare ad a_n+1 e la applico anche a 0 ed a 1/n senza cambiare il verso delle disuguaglianze:
0 < a_n+1 < n*(1/n)^3=1/n^2
A questo punto, se dico che 1/n^2 < 1/(n+1), è fatta...Ma devo utilizzare nuovamente l'induzione???:(
Spero di essere stata chiara nello scrivere...
[Ho dimostrato per induzione che 1/n^2 < 1(n+1)...Adesso dovrei essere sistemata, giusto?]
passo base: per n=1 0<1/2<1
passo induttivo: se 0<a_n<1/n, allora 0< a_n+1 < 1/(n+1)
Applico ad a_n la relazione per passare ad a_n+1 e la applico anche a 0 ed a 1/n senza cambiare il verso delle disuguaglianze:
0 < a_n+1 < n*(1/n)^3=1/n^2
A questo punto, se dico che 1/n^2 < 1/(n+1), è fatta...Ma devo utilizzare nuovamente l'induzione???:(
Spero di essere stata chiara nello scrivere...
[Ho dimostrato per induzione che 1/n^2 < 1(n+1)...Adesso dovrei essere sistemata, giusto?]
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Re: Succ. ricorrenza 2, es 8
Il problema è che n^2 > n+1 vale solo da n=2 in poi.
La dimostrazione da fare nell'induzione è che se a_n < 1/n, allora a_(n+1) < 1/n.
Estavolta n^2 >= n vale per ogni n.
La dimostrazione da fare nell'induzione è che se a_n < 1/n, allora a_(n+1) < 1/n.
Estavolta n^2 >= n vale per ogni n.
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Re: Succ. ricorrenza 2, es 8
Non so come ringraziarti....Mi sto dedicando davvero molto a questo esame, ma mi rendo conto di dovermi strutturare un po' di più su alcuni argomenti... Ho scritto ciò che non mi torna di limiti e serie nelle apposite sezioni, se ci passi ed hai voglia di rispondermi mi fai un piacere immenso! Diciamo, a buon rendere!:)
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Re: Succ. ricorrenza 2, es 8
Il dato iniziale è a1= 1/2
Volevo un parere sulla fattibilità dell'usare il piano del rapporto a questa maniera:
[tex]i) a_n > 0[/tex] dimostrato per induzione
[tex]ii) a_n \rightarrow 0[/tex] dimostrato col rapporto.
Induzione:
[tex]Passo base:
a_1 = \frac{1}{2}
Passo induttivo:
Ipotesi:
a_n>0
Tesi:
a_{n+1} >0
a_{n+1}=n*(a_n)^3 > n*a_n > 0[/tex]
Sfruttando l'ipotesi, n (sempre positivo) moltiplica a sua volta un numero positivo e questo giustifica (a mio avviso) tutti i passaggi.
Per il secondo step, ho qualche dubbio sulla "brutalità" dell'esecuzione:
Criterio del rapporto:
[tex]\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n a_n^3}{a_n} =\lim_{n\to\infty} n a_n^2[/tex]
A questo punto posso cavarmela dicendo che il limite tende a zero per ordini di infinito?
Ovvero, n (che tende a + infinito) moltiplica una potenza, sempre positiva e comunque dipendente da n, che tende a zero più "velocemente" ?
Volevo un parere sulla fattibilità dell'usare il piano del rapporto a questa maniera:
[tex]i) a_n > 0[/tex] dimostrato per induzione
[tex]ii) a_n \rightarrow 0[/tex] dimostrato col rapporto.
Induzione:
[tex]Passo base:
a_1 = \frac{1}{2}
Passo induttivo:
Ipotesi:
a_n>0
Tesi:
a_{n+1} >0
a_{n+1}=n*(a_n)^3 > n*a_n > 0[/tex]
Sfruttando l'ipotesi, n (sempre positivo) moltiplica a sua volta un numero positivo e questo giustifica (a mio avviso) tutti i passaggi.
Per il secondo step, ho qualche dubbio sulla "brutalità" dell'esecuzione:
Criterio del rapporto:
[tex]\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n a_n^3}{a_n} =\lim_{n\to\infty} n a_n^2[/tex]
A questo punto posso cavarmela dicendo che il limite tende a zero per ordini di infinito?
Ovvero, n (che tende a + infinito) moltiplica una potenza, sempre positiva e comunque dipendente da n, che tende a zero più "velocemente" ?
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