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Buongiorno, spero di non aver sbagliato sezione.

Sia . Consideriamo due successioni e definite nel seguente modo:

con

con

Dimostrare che e convergono verso lo stesso limite.

Volevo chiedere dei consigli su come posso procedere.
Ho provato ad usare il Teorema di Césaro-Stolz tuttavia non ho ben capito se soddisfo le ipotesi per poterlo usare, oppure se c'è un altra strada più facile per procedere.

Grazie per l'aiuto

Ho modificato il titolo, per renderlo più aderente alla realtà.

Detto questo, un paio di aiutini





Se serve altro, basta chiedere!

La ringrazio , provo a scriverle i passaggi che ho fatto.

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica




Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
risulta essere monotona crescente e limitata
risulta essere decrescente e limitata

Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone

Esiste il limite

Esiste il limite

(Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo vorrebbe dire che per avere le due successione convergenti allo stesso limite dovrebbe essere )

Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi e convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Da qui non so come procedere

Se non la disturbo troppo vorrei chiederle se può aiutarmi a scrivere la dimostrazione in termini più rigorosi, tante grazie!!

Beh, facciamo il punto della situazione.

Sappiamo che è decrescente e limitata dal basso (ad esempio da ), dunque ammette un limite reale



Analogamente, sappiamo che è crescente e limitata dall'alto (ad esempio da ), dunque ammette un limite reale



Volendo sappiamo anche che , ma noi vorremmo addirittura l'uguaglianza.