successione per ricorrenza con logaritmo:

[Albert95]

Ciao, sono nuovo, volevo chiedervi un aiuto sul limite di una successione:
[tex]x_{n+1}=\log(1+x_n^2)[/tex]
L'esercizio chiede a quanto tende il [tex]\lim (n^n x_n)[/tex].
Dopo un po' di stime ho dimostrato che tende a zero, però ho dovuto sfruttare un po di disuguaglianze, volevo sapere se con Cesàro-Stolz ci sta un metodo più veloce, grazie.

[Massimo Gobbino]

Sì, brutalmente è come fare [tex]x_{n+1}=x_n^2[/tex] quindi l'idea è che tenda a 0 come [tex]a^{2^n}[/tex] per un certo valore di [tex]a[/tex], dunque batte di gran lunga un povero [tex]n^n[/tex].

Per dimostrarlo rigorosamente io farei il criterio del rapporto, usato due volte. Chiamata [tex]a_n[/tex] la successione di cui si vuole fare il limite, al primo passaggio

[tex]\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\ldots=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot\dfrac{\log(1+x_n^2)}{x_n^2}\cdot(n+1)x_n[/tex]

Ora i primi due termini sono limiti notevoli, il terzo si sistema applicando solo su di esso un ulteriore criterio del rapporto facile-facile.

Stolz-Cesàro è come l'Hopital, dunque è ben lontano dall'essere la panacea di tutti i mali. Ci sono casi in cui è fondamentale e cava dai guai, ma spesso non fa che complicare le cose.