Serie Parametrica : verifica

[Noisemaker]

Gentile Professore, ho trovato quest0 eserciz0 ... di cui però non ho il risultato ...


[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}[/tex]

si tratta di una serie a segno alterno; considerando il valore assolto del termine generale, otteniamo una serie a termini positivi, a cui possiamo applicare il criterio del confronto asintotico: si ha:

[tex]\displaystyle\Big|(-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}\Big|=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n \cdot \frac{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n}\Big(\sqrt{1+\frac{\ln^2}{n}}+1\Big)}\Big]}\sim \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{\beta}\Big( \frac{\ln^2n}{2\sqrt n} \Big)}=\frac{1}{2n^{\Big(\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\Big)}\cdot\ln^2n}[/tex]

allora si ha convergenza(assoluta e dunque anche semplice) quando

[tex]\displaystyle\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\ge1 \to \beta -2\ge 1 \to \beta\ge 3[/tex]

[Massimo Gobbino]

Uhm, c'è una quadra messa male in un denominatore (dove moltiplichi e dividi), e poi anche la disuguaglianza finale deve essere stretta ...

[Noisemaker]

[Massimo Gobbino]