Analiticità del reciproco

[Giacomo]

Buongiorno a tutti,

Se io ho una funzione analitica in ( ; ) che non si annulla mai, il reciproco è ben definito;
Il reciproco è anche lui analitico?
se si,come si dimostra?
Grazie mille in anticipo!!!

[Massimo Gobbino]

Beh, in fondo è un caso particolare di analiticità della composizione: 1/x è analitica fuori da 0, quindi 1/f(x) è analitica pure dove f(x) è analitica e non si annulla.

Ovviamente tutto ciò sposta l'onere della dimostrazione sull'analiticità della composizione, che è piuttosto antipatica perché passa per il formulone per la derivata k-esima della composizione, così come l'analiticità del prodotto passa per la derivata k-esima del prodotto.

La formula per la derivata k-esima dell'inversa è forse un pelino meglio, ma non troppo .