Altra serie convergente

[Valerio]

La seguente serie



dovrebbe convergere. Ho provato a togliere ed aggiungere alla frazione la quantità suggerita dal "brutal mode" (chiamiamola bn =[1/n^1/2]). Una volta fatto ottengo una somma di 2 serie dove una (quella col solo bn) converge per Leibnitz mentre sull'altra non riesco a trovare la maniera per verificarne la convergenza. Potreste gentilmente aiutarmi?

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho sistemato la formula

[GIMUSI]

non sono sicuro che ci sia assolutamente bisogno di aggiungere e sottrarre termini in questo caso

sei certo che non si riesca con un "semplice" Leibnitz? il termine della serie mi pare decrescente, forse è un po' ostico farlo vedere

io lo farei ad esempio considerando la funzione f(x) che si ottiene mettendo x=n e poi prendendo g(y) con x=e^(2y)...ma non è detto che sia il modo migliore eh

se fai qualche tentativo poi fammi sapere

[Valerio]

[Massimo Gobbino]

Beh, ma in Leibnitz la monotonia basta "definitivamente", ed è evidente che il numeratore di quella frazione è negativo quando y è grande. La stessa cosa si vedeva anche direttamente con la funzione f(x), e forse anche impostando direttamente la monotonia sulla successione.

[Valerio]

[Massimo Gobbino]

L'induzione di solito è una scelta perdente. Molto meglio provare a dimostrare direttamente che la disuguaglianza vale definitivamente, riducendosi dopo un po' di passaggi algebrici al confronto di espressioni con ordine di infinito diverso. Un esempio in tal senso lo puoi trovare all'inizio della lezione 37 di analisi 1 per matematica.

Si tratta di un metodo ragionevole nei casi polinomiali; funziona anche nel caso in questione, ma ci vuole un minimo di esperienza per tenere duro e portarlo al termine.

[Valerio]

Ho capito, grazie mille per la pazienza, la disponibilità e la chiarezza. Mi siete stati di grandissimo aiuto!