Serie parametriche: è indeterminata?

[dakron9]

Buonasera a tutti!

E' da un pò di tempo che sto lottando con una serie parametrica. il vero problema, però, non è la serie in se ma i metodi per dimostrare (oltre che capire) se la successione che compone la serie è monotona (crescente, decrescente) o no.

faccio un esempio (che è il mio caso):

[(-1)^n] * [ (n + 2) / (n^a + 2) ]

con a€(0,1)

considero la successione "alfa" = [ (n + 2) / (n^a + 2) ] e uso Leibnitz, però al punto 2 (cioè dimostrare SE è monotona decrescente) ho difficoltà.
manca la condizione necessaria(vince il numeratore), quindi non può convergere. Però può essere divergente o indeterminata.

ho il sospetto che sia indeterminata (oscilla tra +inf e -inf) ma come lo dimostro?

dovrei dimostrare che "alfa" è una successione monotona non decrescente e ho delle difficoltà.
ho provato il trucchetto "quella successione è circa n^(1-a) quindi aggiungo e tolgo n^(1-a)" ma non mi aiuta.

Domanda: quanti metodi esistono per stabilire la monotonia di una successione?
- la classica disequazione (che è la definizione di monotonia) mi crea dei problemi (in alcuni casi sono moltissimi calcoli, in altri c'è un coseno di mezzo che complica ulteriormente).
- trattare la successione come una funzione va bene se non ci sono fattoriali di mezzo

Esistono altri modi per studiare la monotonia senza fare una marea di calcoli?
oppure: quanti modi ci sono per vedere o dimostrare che una serie è indeterminata?

Vi ringrazio in anticipo!

ps: faccio matematica per passione quindi ho sicuramente molte lacune.

[dakron9]

Aggiornamenti: ho guardato la lezione n° 37 dell'anno 2014/15 (an1 per matematica) e ho visto che la verifica della condizione a(n+1) <= a(n) è stata fatta con l'ausilio dei limiti,
ossia: non so da quale n è verificata la condizione però so che è definitivamente verificata.

ho applicato la stessa idea alla successione [tex]\frac{n + 2}{n^a + 2}[/tex]
con l'ipotesi [tex]a \in (0,1)[/tex]

[tex]\frac{n + 3}{(n+1)^a + 2} \ge \frac{n + 2}{n^a + 2}[/tex]

dato che è tutta roba positiva l'ho trasformata in [tex](n+3)(n^a + 2) \ge (n+2)[(n+1)^a + 2][/tex]

e poi in [tex](n+3)(n^a + 2) - (n+2)[(n+1)^a + 2] \ge 0[/tex]

il 1° membro tende a [tex]+\infty[/tex] quindi la diseguaglianza è "definitivamente" soddisfatta
quindi la successione è "definitivamente" monotona non decrescente.

domanda: il ragionamento è accettabile?

[Massimo Gobbino]

Metodi per dimostrare che una serie è indeterminata: la cosa più semplice è scriverla come somma di due serie, di cui la prima indeterminata, e la seconda convergente.

Verifica della definitiva monotonia mediante un limite: certamente è un metodo molto comodo. Nell'esempio però non è per nulla chiaro che il lhs tende a + infinito: questo andrebbe dimostrato per bene.

[dakron9]

[Massimo Gobbino]

Certamente è accettabile dimostrare che

[tex]a_{n+1}\geq a_n[/tex]

definitivamente mostrando che

[tex]a_{n+1}- a_n[/tex]

ha un limite (o un liminf) positivo (si intende sempre strettamente), o anche che

[tex]\dfrac{a_{n+1}- a_n}{n^{2016}}[/tex]

ha un limite (o liminf) positivo, cosa che spesso è ancora più semplice. Si tratta in fondo di una semplice applicazione del teorema della permanenza del segno. Come dico a lezione: in questi casi la definizione di limite lavora al posto nostro .

Di fronte ad una serie a termini di segno variabile che non converge, può essere difficile stabilire quale dei 3 comportamenti rimasti si applica. Uno strumento è quello di aggiungere e togliere, cosa che spesso funziona.

Un'altra idea, buona soprattutto nel caso di segni alterni, è quella di accoppiare i termini a due a due. In pratica, di fronte alla serie

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n[/tex]

uno considera la serie

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (a_{2n}-a_{2n+1})[/tex]

Se gli [tex]a_n[/tex] della prima erano decrescenti (definitivamente), allora il termine generale di questa serie è definitivamente positivo, quindi questa serie è abbastanza agevole da studiare. Ora non bisogna cadere nell'errore di dire che questa serie "è la stessa di prima": si può solo dire che le somme parziali di questa coincidono con le somme parziali di indice pari di quella iniziale. Si costruisce poi la serie


[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-a_{2n+1}+a_{2n+2})[/tex]

le cui somme parziali sono legate a quelle di indice dispari ...

Ora se la prima diverge a + infinito e la seconda diverge a - infinito, sappiamo per certo che la serie iniziale è indeterminata.

[dakron9]

Perfetto!

il mio unico dubbio era se esistevano casi e/o condizioni particolari (e strani) in cui esiste (ed è positivo) il limite di [tex]a_{n+1} - a_n[/tex] ma non posso essere sicuro della monotonia.

La ringrazio ancora professore