Dimostrazione della formula di taylor con resto di lagrange,

[francicko]

Riporto qui una dimostrazione della formula di Taylor con resto di Lagrange,con il solo uso del teorwema di Rolle, tratta da un libro di analisi 1;
Sia [tex]f(x)[/tex] una funzione definita e continua, in un intervallo [tex](a,b)[/tex]; Supponiamo che esista la derivata di ordine [tex]n+1[/tex] di [tex]f(x)[/tex]in tutti i punti di tale intervallo, poniamo [tex]R=f(b)-{f(a)+(b-a)f^1(a)+((b-a)^2/2)f^2(a)+[/tex] .........[tex]((b-a)^n/n!)f^n(a)}[/tex],
allora esiste almeno un punto [tex]c[/tex] interno a tale intervallo, tale che , [tex]R=((b-a)^{n+1}/(n+1)!)f^{n+1}(c)[/tex].
Posto [tex]q=R/(b-a)^{n+1}[/tex], e vado a considerare la funzione ausiliaria [tex]g(x)= f(b)-f(x)-(b-x)f^1(x)-(b-x)^2/2f^2(x)[/tex]........[tex]-((b-x)^n/n!)f^n(x)-((b-x)^{n+1}/(n+1)!)q[/tex], essendo che si annulla agli estremi del''intervallo [tex](a,b)[/tex], si può applicare il teorema di Rolle, pertanto esisterà un punto [tex]c[/tex] interno a tale intervallo tale che [tex]g^1(x)=0[/tex], proseguendo si arriva ad ottenere che [tex]R[/tex] può essere sritto nella forma [tex]R=((b-x)^{n+1}/(n+1)!)f^{n+1}(c)[/tex]; per [tex]n=0[/tex] si ha semplicemente il teorema di Lagrange in cui ci si riduce alla ben nota forma [tex]g(x)=f(b)-f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(b-x)[/tex]. In effetti, non ho fatto altro che generalizzare la [tex]g(x)[/tex] del teorema di lagrange sostituendo nel punto [tex]a[/tex] il polinomio di taylor in tale punto, mi sbaglio?
Quindi è possibile dimostrare la formula di taylor con resto di Lagrange, ricorrendo al solo uso del teorema di Rolle, bypassando così l'uso derl teorema di Cauchy e di Hopital, mi sbaglio?
Resto in attesa di una risposta!
Saluti!