esercizio molto particolare sulle serie numeriche

[matematico86]

Mi servirebbe aiuto con un esercizio sulle serie numeriche, che ha dato dei grattacapi anche a matematici esperti. La traccia dell'esercizio la metto in allegato
La difficoltà sta proprio nel fatto che le due successioni devono necessariamente essere decrescenti. Per quanto mi sforzi non riesco a trovare due successioni che soddisfino tale richiesta. Ringrazio tutti quelli che mi vorrano aiutare, non so più a chi chiedere

[matematico86]

professor Gobbino, lei saprebbe dirmi come risolvere questo esercizio?

[Massimo Gobbino]

Eheh, questo è un grande classico, e si può anche rendere un pelino più difficile richiedendo che le sue successioni siano decrescenti.

[matematico86]

si infatti mi riferisco proprio al richiedere che le due successioni siano decrescenti, perchè senza quella richiesta sono in grado di trovare tranquillamente le due successioni

[Massimo Gobbino]

Un primo aiutino, per quanto in apparenza controcorrente, potrebbe essere dire che

[matematico86]

nel caso in cui le due successioni non debbano necessariamente essere decrescenti possiamo considerare a_n=1+(-1)^n+1/n^2 e
b_n=1+(-1)^(n+1)+1/n^2.
In questo caso le serie di a_n e b_n sono divergenti e il minimo tra a_n e b_n vale 1/n^2, quindi la serie minimo è convergente. Però il problema è che non so come scegliere due successioni decrescenti che soddisfino tale richiesta

[Massimo Gobbino]

Le due successioni si devono "scambiare", ma sempre più lentamente.


Con questo stesso trucco si fanno dei giochetti spettacolari!

[matematico86]

la ringrazio per la sua risposta, penso di aver capito il suo ragionamento. Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

[Massimo Gobbino]

[Massimo Gobbino]

[matematico86]

con analiticamente intendo di definire a_n a cosa è uguale e b_n a cosa è uguale, poichè nell'esercizio è richiesto di determinare esplicitamente le due successioni.