Teorema della funzione implicita in codim k

[Andrea06]

Salve a tutti,

nella dimostrazione del Teorema di Dini in codim. k si è accennato al fatto che non vale Lagrange per le funzioni a valori vettoriali perchè vale solo componente per componente, quindi nel passaggio di verifica della Lipschitzianità la maggiorazione così com'è non è esatta e andrebbe sistemata cambiando la seconda scelta (lezione 81 a.a 15/16).
Nella seconda scelta si sfruttava la continuità in 0,0 dello Jacobiano parziale (risp. y) della f.
Forse ora bisogna sfruttarne la limitatezza in un intorno di 0,0? così metterei assieme la scelta 1 e la 2.

Qualcuno mi può aiutare ad andare avanti?

Grazie!

Andrea

[Massimo Gobbino]

Riecco tornare il Lagrange vettoriale, sul quale forse prima o poi occorrerebbe aprire un topic apposta (se mai rifarò Analisi 2 finirà che ci dedicherò una lezione apposta).

Vediamo il problema in generale: data e dati due punti a e b nello spazio di partenza, uno vorrebbe poter concludere che



dove c è un opportuno punto che sta nel segmento di estremi a e b, e il puntino che sta al rhs indica il prodotto di una matrice per un vettore. Se fosse vera questa uno potrebbe concludere che



dove intervengono norme di vettori e di matrici in opportuni spazi. Se noi sappiamo che la norma della matrice Jacobiana è limitata da una costante M su tutto il segmento di estremi a e b, questo ci permette di concludere che



Questa disuguaglianza è poi quella che serve in tante dimostrazioni, comprese quella delle funzioni implicite in codimensione k di cui si sta parlando qui.

Purtroppo, però, il Lagrange come scritto non vale quando m è maggiore di 1 (ma qual è l'esempio? all'esame ultimamente non lo sa mai nessuno ).

Che fare allora? Rinunciare alla disuguaglianza? Non proprio ... ci sono almeno due vie di uscita.

La via facile consiste nell'applicare Lagrange componente per componente. Uno scrive



dove ora il puntino è un prodotto scalare e l'indice i va da 1 ad m. Con un comodo Cauchy-Schwarz si arriva a



per ogni i che va da 1 ad m. Ora , e se noi sappiamo che la norma della matrice Jacobiana è limitata da una costante M su tutto il segmento di estremi a e b, questo ci permette di concludere che



per ogni indice, da cui calcolando le norme



In altre parole, abbiamo ottenuto una disuguaglianza analoga a quella a cui si arrivava con il Lagrange abusivo, soltanto "pagando" la radice della dimensione dello spazio di arrivo. Tornando alla dimostrazione citata, è forse evidente ora come modificare la seconda scelta tenendo conto della nuova disuguaglianza.

Tuttavia, vale la pena citare una seconda via, che permette di ottenere la stessa disuguaglianza che si aveva con il Lagrange abusivo, cioè



per un opportuno c intermedio, senza nemmeno pagare la radice. Qui mi limito a citare l'idea, che è la stessa che si usa nella dimostrazione delle stime per gli integrali vettoriali (vedi apposita lezione), e che si potrebbe chiamare "stima per dualità". Si tratta di partire da un prodotto scalare del tipo



dove v è un vettore generico dello spazio di arrivo e il puntino indica il prodotto scalare. Questa è una funzione scalare, alla quale quindi si può applicare il Lagrange vero. Salto i relativi conti, ma alla fine si tratterà di applicare il risultato con v=g(b)-g(a). Se qualcuno ha voglia di completare i dettagli, si senta libero di farlo!

[Andrea06]

Non so se ho capito bene, un esempio potrebbe essere:
[a,b]=[-1,1]
f: R---->R^2
definita da t ---> (t^2, arctan t)
il punto di Lagrange di t^2 è t=0 ma per arctan t è diverso da 0.

Grazie per la spiegazione!

Andrea

P.S.: sono nuovo qui e purtroppo non so scrivere delle formule decenti. C'è un topic apposta?

[Massimo Gobbino]

L'esempio forse più semplice è la circonferenza parametrizzata da



definita da



P.S. Per le formule, come si suol dire, impara il LaTeX e mettilo da parTeX

[C_Paradise]

Provo a esplicitare i conti per quanto riguarda la dimostrazione per "dualità"

Per ogni considero l'applicazione



Per ognuna di queste applicazioni vale il teorema di Lagrange, ovvero

per un opportuno nel segmento tra e

Passando ai valori assoluti e usando Cauchy-Schwarz si ottiene



Chi sono le derivate parziali di ? Svolgendo il prodotto scalare si ha da cui




Allora da cui





Ora ponendo quindi si ottiene e andando a sostituire

[Massimo Gobbino]

Sì, direi solo che il valore assoluto va messo subito quando si vanno a stimare le derivate parziali.