Analisi 2 -- 2015/16 -- Scritti d'esame

[Massimo Gobbino]

Qui di sotto i testi degli scritti d'esame. Ricchi premi per chi pubblica le sue soluzioni, anche parziali.

[Angelo Casulli]

Buongiorno!
Posto una soluzione, forse un po' borderline, dell'esercizio 1 del compito. Vorrei sapere se la risoluzione è corretta e se è lecito il trucco del "pasaggio al piano proiettivo" .

[Massimo Gobbino]

Intanto grazie per aver postato la soluzione, che mi dà modo di fare un po' di osservazioni utili (spero) per tutti.

La risposta è giusta, ma sulle motivazioni ho davvero molto da ridire.

Intanto i punti stazionari sono sbagliati ... ci deve essere qualche errore di precorso nella risoluzione del sistema, che però non è riportata. Questa è una osservazione di tipo generale: molti scrivono le soluzioni saltando molti conti intermedi. Il problema è che i risultati sono quasi sempre sbagliati. Per fare un esempio, molti hanno provato a fare il secondo esercizio trovando un campo E che avesse come rotore il campo F assegnato, ma si sono limitati a scrivere E, senza nemmeno fare la verifica: ebbene, meno del 20% dei campi E scritti andava bene ...

Tra l'altro, in questo caso l'errore sui punti stazionari è più strutturale: se una funzione ha una retta di punti stazionari, allora per forza deve essere costante lungo quella retta (facile esercizio), mentre è evidente che in questo caso non lo è, come hai giustamente osservato. Da lì dovevi accorgerti che qualcosa non andava.

Passiamo ora al proiettivo ... quello che tu descrivi *non* è il piano proiettivo. Il piano proiettivo non è il piano normale con "una circonferenza infinita intorno", o meglio lo è ma in una maniera più complicata, nel senso che i punti corrispondenti a due direzioni "opposte" sono identificati. Nello specifico, non è possibile estendere la funzione data al piano proiettivo in modo continuo (perché?).

Certo tu potresti definire uno spazio MyProj in cui metti un punto all'infinito per ogni direzione uscente dall'origine (con l'accordo però che (1,2) e (-1,-2) sono diverse) ed estendere a quello spazio. Tuttavia devi dimostrare che l'estensione è continua, e per farlo certamente non basta fare il limite sulle rette, cioè a theta fisso.

Insomma: i cannoni (matematicamente parlando, e forse non solo) sono sempre pericolosi da usare, e di solito finiscono solo per spostare il problema da un'altra parte. Domanda di geometria: a cosa è omeomorfo MyProj? Si tratta di una varietà?

[Angelo Casulli]

Vero, quello non è il proiettivo .
Lo spazio MyProj è però omeomorfo al disco chiuso di raggio 1, quindi è compatto, di conseguenza la soluzione potrebbe rimanere uguale sostituendo il piano proiettivo con il MyProj... La cosa che però mi spaventa è come dimostrare che l'estensione di f al MyProj è continua. Ci penserò.
Grazie mille per i chiarimenti .

[NoAnni]

Provo a mettere degli Hints su una possibile soluzione dell'1.
Spoiler forti, leggere con cautela, magari provando ad andare avanti leggendone uno alla volta, e ritornare dopo averci provato un po' da soli








Chiaramente il tutto va un po' formalizzato.

[Massimo Gobbino]

Ecco i miei spoiler per il numero 1.









Importante evitare ragionamenti del tipo: "il sup è all'infinito, quindi faccio il limsup che calcolo sulle rette".

[auron95]

Ecco degli hint per l'esercizio 3:









Spero di non essere stato fuorviante...

[Ghedda]

Proviamo a rispondere alla bonus question.
Supponiamo di aver già dimostrato che la soluzione sia definita per tempi positivi, crescente e non limitata.
Osserviamo che , da cui integrando
e quindi
, . Questo ci permette di affermare che per .
Applicando De l'Hospital si vede che per .
Sempre per De l'Hospital e per quanto fin qui acquisito per , cioè per .
Ora
per .
Integrando
.
E' facile vedere che il secondo membro si "comporta" come e che diverge.
Finalmente
per e quindi per confronto diverge anche il nostro integrale.
Ho fatto bene?
Ma soprattutto, si poteva fare meglio?

[Massimo Gobbino]

[Massimo Gobbino]

Per chi vuole ho aggiunto lo scritto 5 (10 gennaio 2017).

[Massimo Gobbino]

Ho aggiunto lo scritto 6 (24 Febbraio 2017).