AM1 - Trovare un controesempio. Appello 1/9/10

[C_Paradise]

Ciao a tutti!
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Sia [tex]f: \left[1, +\infty\right) \longrightarrow \mathbb{R}[/tex] una funzione continua, provare che la seguente implicazione è falsa:

[tex]\displaystyle\forall \beta >0\quad \int_{1}^{+\infty}|f(x)|^\beta\, dx<+\infty\quad \Longrightarrow\quad \forall n \mathcal{2}\mathbb{N}\ \exists C_n >0\ \forall x\ge 1[/tex][tex], \quad |f(x)|\le \dfrac{C_n}{x^n}[/tex]

Da dove si potrebbe partire per costruire il controesempio?

[C_Paradise]

Avevo pensato a qualcosa del tipo [tex]f\left(x\right)=e^{-x\cdot g\left(x\right)}[/tex] con [tex]g\left(x\right) \rightarrow 0\ ma\ x\cdot g\left(x\right) \rightarrow +\infty[/tex], per ora niente che funzioni..

[Massimo Gobbino]

Acqua ... acqua ... ma mi piacerebbe che rispondesse qualcuno che era a ricevimento l'altro giorno, visto che abbiamo discusso il problema analogo per le serie ...