[tex]\mbox { Sia }\,\,\, f:(-\infty,0)\to\mathb{R}\,\,\,\mbox{una unzione continua ed iniettiva tale che}[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.[/tex]
[tex]\mbox { Provare che } f \mbox {risulta crescente }[/tex]
Io ho seguito questo ragionamento qui:
si tratta di provare che, [tex]\forall\,\,x_1,x_2 \in (-\infty,0)[/tex] si ha che [tex]x_1<x_2 \,\,\Rightarrow\,\,f(x_1)<f(x_2)[/tex]
Allora per ipotesi la funzione è continua ed iniettiva, e ciò significa che è certamente (strettamente) monotona: infatti poichè ogni funzione strettamente monotona è iniettiva, basterebbe fare vedere che [tex]f[/tex] è invertibile (lo è per ipotesi di iniettività) implica [tex]f[/tex] strettamente monotona. Alllra essendo strettamente monotona, dobbiamo dimostrare che essa è monotona crescente; a tale scopo utilizziamo l'ipotesi del limite, cioè:
[tex]\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.[/tex]
questo significa, per definizione, che:
[tex]\forall \varepsilon>0,\,\, \exists\delta>0 : \,\,f(x)<-\varepsilon,\,\,\,\forall x\in (-\infty,0) : x<-\delta[/tex]
e dunque
[tex]x_1<x_2 \,\,\Rightarrow\,\,f(x_1)<f(x_2)<-\varepsilon,\quad \forall x\in (-\infty,0)[/tex]
e dunque la funzione risulta monotona(strettamente) crescente.
Esercizio funzioni monotone
-
- Presenza fissa
- Messaggi:104
- Iscritto il:martedì 7 agosto 2012, 19:14 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
- Massimo Gobbino
- Amministratore del Sito
- Messaggi:2298
- Iscritto il:lunedì 29 novembre 2004, 19:00
- Località:Pisa
- Contatta:
-
- Presenza fissa
- Messaggi:104
- Iscritto il:martedì 7 agosto 2012, 19:14 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
-
- Presenza fissa
- Messaggi:104
- Iscritto il:martedì 7 agosto 2012, 19:14 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: Esercizio funzioni monotone
la funzione non puo decrescere per la regolarità delle funzioni monotone, cioè se [tex]f[/tex] fosse decrescente nell'intervallo [tex](-\infty,0)[/tex] allora l'estremo superiore sarebbe [tex]-\infty[/tex]
poiche
[tex]\displaystyle \sup_{]-\infty ,0[} f=\lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty[/tex]
ma cio è impossibile ...... perchè il [tex]\sup f=0[/tex]
poiche
[tex]\displaystyle \sup_{]-\infty ,0[} f=\lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty[/tex]
ma cio è impossibile ...... perchè il [tex]\sup f=0[/tex]
Torna a “Calcolo Differenziale in una variabile”
Chi c’è in linea
Visitano il forum: Nessuno e 5 ospiti