esercizio teorico

[Noisemaker]

gentile professore, vorrei capire come risolvere questo problema.


Sia [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] una funzione crescente (in senso deble) tale che la sua immagine [tex]f(\mathbb{R})[/tex] risulti un intervallo. Dimostrare che [tex]f[/tex] è contina.

io ho fatto questo ragionamento:

sia [tex]I=f(\mathbb{R});[/tex] poiché [tex]f[/tex] è monotona crecente, esiste la funzione inversa anch'essa monotona crescente che risulerà definita da [tex]f^{-1}: I\to \mathbb{R}[/tex]; poichè l'inversa di una funzione continua è anch'essa continua, basterebbe dimostrare che la funzione [tex]f^{-1}: I\to \mathbb{R}[/tex] risulta continua per concludere che [tex]f[/tex] è continua. La funzione [tex]f^{-1}: I\to \mathbb{R}[/tex] è monotaona crescente definita in un intervallo, e sappiamo che se anche l'insieme d'arrivo è un intervallo allora si può concludere che la funzione è continua; ma l'insieme d'arivo è [tex]\mathbb{R}[/tex] che non è un intervallo, come si può concludere che [tex]f^{-1}[/tex] e quindi [tex]f^[/tex] sia continua?

[Massimo Gobbino]

[Noisemaker]

...la strada è dunque sbagliata ..

[Massimo Gobbino]

[Noisemaker]

Una funzione [tex]f[/tex] è continua in [tex]x_0[/tex] se, per ogni successione [tex]x_n[/tex] a valori nel dominio della funzione e convergente a [tex]x_0,[/tex] la successione [tex]f(x_n)[/tex] converge a [tex]f(x_0).[/tex]

Il fatto che l'immagine sia un intervallo, ci suggerisce che la funzione è limitata; dunque esiste un numero [tex]M[/tex] tale che [tex]|f(x)|<M[/tex]

considerando una successione [tex]x_n\to x_0[/tex], la successione [tex]f(x_n)[/tex] risulterà monotona crecente e limitata e dunque ammette limite finito; allora la funzione [tex]f[/tex] risulta continua

[Massimo Gobbino]

Era molto meglio la partenza che ora hai cancellato

[Noisemaker]

[Massimo Gobbino]

No, per due motivi: non c'è ragione per cui [tex]f(x_n)[/tex] debba essere monotona crescente e, se anche lo fosse (ma, ripeto, non è detto che lo sia), dovresti dimostrare che il suo limite è proprio [tex]f(x_0)[/tex] e non qualcos'altro.

[Noisemaker]

...non ne esco!

[Massimo Gobbino]

Il limite da sinistra esiste. Perché? Il limite da destra esiste. Perché? Come si situano tali limiti rispetto ad [tex]f(x_0)[/tex] ? Cosa succederebbe se fossero diversi tra di loro?

[Noisemaker]

Riprovo:

consideriamo un punto [tex]x_0 \in\mathbb{R}[/tex] e bisogna dimostrare che la funzione [tex]f[/tex] è continua nel punto [tex]x_0,[/tex] cioè che:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)= \lim_{x \to x_0^+}f(x)[/tex]

Il Punto [tex]x_0^[/tex] è certamente di accumulazione per il dominio [tex]\mathbb{R}[/tex] ed individua due insiemi [tex]A=\{x:x\in(-\infty,x_0)\}[/tex] e [tex]B=\{x:x\in(x_0,+\infty)\}[/tex] tali che [tex]A\cup B=\mathbb{R}.[/tex]

Dimostriamo che il limite sinistro coincide con il vaolre della funzione nel punto [tex]x_0;[/tex] l'altro caso è evidentemente analogo.

Poichè la funzione è monotona crescente in [tex]A,[/tex] che ha come estremo superiore [tex]x_0[/tex] e dunque

[tex]\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l=\sup_{A}f(x)[/tex]

in tal caso per ogni valore di [tex]\displaystyle x\in A[/tex] si ha che

[tex]f(x)\le l \le f(x_0)[/tex]

I valori [tex]l[/tex] e [tex]f(x_0)[/tex] appartengono all'intervallo [tex]f(\mathbb{R}),[/tex] pertanto, se essi fossero distinti, allora l'intervallo che li ha come estremi sarebbe incluso in [tex]f(\mathbb{R}),[/tex] cioè:

[tex](l,f(x_0))\subset f(\mathbb{R})[/tex]

questo in realtà è un assurdo in quanto la funzione è monotona per ipotesi, e quindi per Ogni [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] si ha che :

[tex]f(x)\le l \quad \text{se}\quad x<x_0[/tex]

[tex]f(x)\ge f(x_0) \quad \text{se}\quad x\ge x_0[/tex]

pertanto nessun valore [tex]f(x)[/tex] è compreso nell'intervallo [tex](l,f(x_0))[/tex] (piochè abbiamo supposto [tex]l\le f(x_0)[/tex] e non [tex]l = f(x_0)[/tex])

Allora l'uguaglianza tra il limite [tex]l[/tex] in [tex]x_0[/tex] e il valore valore della funzione [tex]f[/tex] in [tex]x_0,[/tex] cioè [tex]f(x_0)[/tex] indica che la funzione [tex]f[/tex] è continua.

[Massimo Gobbino]

Le idee ora più o meno ci sono, ma ci sono molti dettagli che così non vanno. Ad esempio non è vero che [tex]A\cup B=\mathbb{R}[/tex], così come non è vero che [tex]l[/tex] (definito come limite sinistro) sta nell'immagine della funzione, e così via ...

[Francesco]

Buongiorno.

La mia idea è la seguente.

Il limite da sinistra, così come quello da destra esistono perchè la funzione è monotona.

Se il limite da sinistra, e analogamente da destra, assumono valori diversi da f in [tex]x_0[/tex] allora i valori che assume la funzione non appartengono a un intervallo, contro l'ipotesi.

Tuttavia ho difficoltà a formalizzare per benino il concetto.

EDIT: corretto il "code"

[Massimo Gobbino]

L'idea è corretta. Per formalizzarla, siano [tex]l_1[/tex] il limite da sinistra ed [tex]l_2[/tex] il limite da destra. Allora si ha che [tex]l_1\leq f(x_0)\leq l_2[/tex]. Perché?

Se [tex]l_1=l_2[/tex], allora siamo felici ed abbiamo finito.

Se [tex]l_1<l_2[/tex], allora si tratta di far vedere che tutto l'intervallo [tex](l_1,l_2)[/tex] è contenuto nell'immagine della funzione. Perché questo è vero? Non perché [tex]l_1[/tex] ed [tex]l_2[/tex] sono a loro volta contenuti nell'immagine, in quanto questo non è detto che sia vero (basti pensare ad una f strettamente monotona ...). Però l'immagine contiene di sicuro roba minore di [tex]l_1[/tex] e roba maggiore di [tex]l_2[/tex] (perché?), quindi ...

Una volta che tutto l'intervallino [tex](l_1,l_2)[/tex] è contenuto nell'immagine della funzione, vuol dire che tutti i valori al suo interno devono essere presi. Ma in questo intervallino l'unico valore che può essere preso è [tex]f(x_0)[/tex]. Perché? Da qui l'assurdo è immediato.

[Francesco]

Sia [tex]\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l_1[/tex] e [tex]\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x)=l_2[/tex]
( i limiti esistono finiti o infiniti perchè f è debolmente crescente. Il ragionamento che segue è stato pensato nel caso in cui i limiti siano finiti. Andrà adattato nel caso in cui uno o entrambi i limiti siano infiniti)

[tex]l_1 \le f(x_0) \le l_2[/tex] perchè

[tex]x_1 \le x_2 \Rightarrow\ f(x_1) \le f(x_2)[/tex] ovvero f debolmente crescente.


Supponiamo [tex]l_1 < l_2[/tex]

La funzione assume valori più piccoli di [tex]l_1[/tex]. Perchè? Perchè f(x) è definita in un intorno sinistro di [tex]x_0[/tex] (esiste [tex]l_1[/tex]) unitamente al fatto che la funzione è debolmente crescente.

In modo analogo la funzione assume valori più grandi di [tex]l_2[/tex]

Quindi se la funzione assume valori più piccoli di [tex]l_1[/tex] e più grandi di [tex]l_2[/tex], poichè per ipotesi la sua immagine è un intervallo, allora dovrà assumere tutti i valori in [tex](l_1 - _{qualcosina} , l_2 + _{qualcosina})[/tex] (passatemi l'informalità del qualcosina) e in particolare l'intervallino [tex](l_1, l_2)[/tex] è contenuto nell'immagine della funzione (anzi azzarderei dicendo che l'intervallo [tex][l_1, l_2][/tex] è contenuto nell'immagine della funzione .

In questo intervallino l'unico valore che può essere preso è [tex]f(x_0)[/tex]. Pertanto l'intervallo [tex][l_1, l_2][/tex] concide con {[tex]f(x_0)[/tex] } e dunque [tex]l_1 = l_2[/tex], ovvero l'assurdo avendo ipotizzato [tex]l_1 < l_2[/tex].

Il probelma è che non riesco a formalizzare il fatto che l' intervallino contiene solo il valore di [tex]f(x_0)[/tex].
suggerimenti?
Grazie
EDIT: correzioni codice latex