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Sapreste fornirmi un esempio in cui il teorema di Cauchy non risulti vero in quanto la funzione f'(x) si annulla per qualche punto interno all'intervallo (a,b);
Grazie!

Uhm, non capisco bene a cosa ti riferisci . Ma hai provato a guardare una lezione qualunque con il teorema di Cauchy, ad esempio la 98 del 2014/15?

P.S. Già che ci sono, sposto nella sezione giusta.

La ringrazio per la risposta, quello che continuo a non capire e' che supponendo che la g'(x) si annulli in più punti all'interno dell'intervallo (a,b), e ' possibile tuttavia che risulti g(b) diverso da g(a) , o mi sbaglio ?

Certo che è possibile che g(b) e g(a) siano diversi anche se g'(x) si annulla 18 volte. E allora?

Il teorema di Cauchy ha due tesi. La prima (quella non divisa) vale sempre, indipendentemente dall'annullarsi di g'(x).

La seconda tesi (quella divisa) vale sempre se g' non si annulla mai. Se g' si annulla da qualche parte, la seconda tesi può valere o non valere a seconda dei casi, come mostrano gli esempi nelle lezioni.

Comincio a capire, se supponiamo avessi le seguenti ipotesi:
f (a) diverso da f(b) ed g(a) diverso da g(b), con f ' (x) diversa da zero per ogni x , in questo caso il teorema di Cauchy sarebbe valido in ambedue le forme, mi sbaglio?

Esatto: questa in effetti è una interessante variante di Cauchy. Se g(a) è diverso da g(b) e f'(x) non si annulla mai, allora vale il Cauchy anche in versione divisa, nonostante che g'(x) possa annullarsi quante volte vuole (non serve nemmeno assumere che f(a) sia diverso da f(b), in quanto segue dal mancato annullamento della derivata).

Magari nel prossimo corso lo presento, sotto il nome di teorema di Cauchy-francisko .