Piccolo problema di definizione di derivata destra e sinistr

[Giuseppe95]

Salve, è tutto il giorno che ci penso: la derivata destra in un punto x0 di una funzione f(x) è uguale al limite per h che tende a 0 da destra del rapporto incrementale (e fin qui ci siamo) ma è vero che è uguale anche al limite per x che tende ad x0 da destra della funzione derivata prima?
Cioè è vera l'uguaglianza nell'immagine in allegato?
P.S. ho dovuto allegare l'immagine perchè non so come scrivere qui le formule matematiche

Immagine.png

(4KiB)Mai scaricato

[Massimo Gobbino]

L'uguaglianza che hai scritto vale e non vale .

Detto meglio: se il limite scritto a sinistra esiste (basta nei reali estesi), allora quello scritto a destra esiste e coincide. Se quello scritto a sinistra non esiste, allora quello scritto a destra potrebbe esistere lo stesso. Usando liminf e limsup, sarebbe la solita catena a 4.

Sono tutti discorsi legati alla proprietà di Darboux delle derivate (vedi lezione 123 dell'anno scorso).

[Carmine]

Prof. mi ha anticipato di un minuto!

Considera la funzione seguente:

[tex]f(x)=\begin{cases} 0 , \quad x \not \in \mathbb{Q} \\ x^2, \quad x \in \mathbb{Q} \\ \end{cases}[/tex]

In questo caso la funzione è continua in [tex]0[/tex], in [tex]0[/tex] il limite del rapporto incrementale, sia da destra che da sinistra, esiste e fa [tex]0[/tex]. Ma direi che [tex]df/dx[/tex] fa ben fatica ad esistere...

Se invece [tex]df/dx[/tex] esiste, allora il discorso si fa molto più semplice...

[Giuseppe95]

Grazie, mille. La cosa non mi è ancora completamente chiara ma sto iniziando a capirci qualcosa

[Giuseppe95]

E' giusto dire che l'uguaglianza è vera solo se la funzione è continua nel punto x0 ?

[Massimo Gobbino]

No, se vai alla famosa lezione 123 trovi un altro esempio.

[Giuseppe95]

La ringrazio, soprattutto per la sua disponibilità