problema su funzione continua e derivabile

[francicko]

Sia f(x) continua e derivabile in ]α,β[ contenente l'intervallo [a,b], tale che f(a)=f(b)=0 ed f'(a)=f'(b)=1, mostrare che esiste almeno un punto ϕ appartenente all'intervallo ]a,b[ tale che f(ϕ)=0, non riesco a capire questo problema, sicuramente è vero, ma perchè la scelta del valore 1 per le derivate f'(a) ed f'(b), con qualsiasi altro valore non è pur sempre vero?
Saluti!

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

Forse quello che voleva dire francicko è che il problema non cambia se alla condizione f'(a)=f'(b)=1 si sostituisce la condizione f'(a)=f'(b)=35, oppure f'(a)=f'(b)=-8. In effetti non cambia nulla, la dimostrazione è sempre la stessa.

Come osservato da GIMUSI, l'unica cosa importante è che abbiano lo stesso segno, nel senso che andrebbe bene pure f'(a)=5 e f'(b)=7.

E già che ci sono, sposto nella sezione giusta.

[francicko]

Si , quindi il valore [tex]f^1(a)=f^1(b)=1[/tex] è solo per fissare le idee, però non vi sembra strano che un esercizio fissi il valore di un parametro senza che abbia un effettiva utilità? Mi potete dare almeno un accenno della dimostrazione, l'esercizio è riportato dal libro di analisi Guido Stampacchian di analisi 1;
grazie!

[francicko]

il ragionamento che avevo fatto io , non so se giusto, era che per una funzione siffatta deve aversi necessariamente f(a+h)>0, cioè f(x)>0 nell'intorno del punto a, in quanto f(a+h)<0 non può essere, infatti in quest'ultimo caso la curva dovrebbe intersecare la retta verticale ,parallela all'asse y, passante per il punto x=a, pertanto avrei un punto che avrebbe ascissa x=a ed ordinata diversa da zero,ed un punto di ascissa x=a ed y=0, in definitiva non sarei più in presenza di una funzione, analogamente con lo stesso ragionamento, in b deve essere f(b−h)<0, quindi la funzione assume all'interno dell'intervallo [a,b] valori positivi e negativi, ed essendo continua dovrà intersecare internamente ad esso l'asse delle x in un punto ϕ, cioè sarà f(ϕ)=0.
Ripeto non so neanche se è sensato il mio ragionamento, comunque in ogni caso la scelta f'(a)=f'(b)=1 non può essere solo casuale a fini di fissare le idee, significherebbe che il problema è mal posto, e su questo nutro qualche dubbio.
Saluti!

[Massimo Gobbino]

No, non mi sembra per nulla strano, di solito lo si fa per accertarsi che uno punti all'essenziale e per evitare che uno debba distinguere troppi casi nella dimostrazione (e un po' anche per stimolare discussioni come questa).

Supponendo quindi che f'(a)=f'(b)=1, si dimostra che "un po' a destra di a" la funzione è positiva (è sostanzialmente la dimostrazione di quello che io chiamo monotonia 1), mentre un po' a sinistra di b la funzione è negativa (stesso motivo), quindi per il teorema di esistenza degli zeri ...

Lo stesso discorso vale più in generale purché f'(a)>0 e f'(b)>0.

[francicko]

Sono sensate le considerazioni che ho fatto nel post?

[Massimo Gobbino]

eheh, abbiamo postato praticamente in contemporanea . Praticamente abbiamo detto più o meno le stesse cose, e cioè che f(a+h)>0 e f(b-h)<0 per h sufficientemente piccolo. La tua dimostrazione di questi due fatti però non convince per nulla. Per farla per bene basta considerare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e applicare la permanenza del segno (come nella dimostrazione di monotonia 1).

[francicko]

Ok! Grazie!