Informazioni e materiale vario
Cose (piu o
meno) utili da scaricare
DISPENSA- Versione Preliminare, Rivista con correzioni da voi suggerite (versione del 31/5/2006)
Ricordo che gli esercizi della dispensa sono presi da vecchi appelli e ci sono le soluzioni, oltre a diversi complementi alla teoria. La consiglio ed e' piu che sufficiente per preparare lo scritto. Se pero volete vedere qualche compito recente ecco qui.
Esercizi del corso di S. Mortola e F. Conti (SNS anni 90)
Questa raccolta contiene esercizi piu teorici, alcuni difficili e interessanti..
Compito 13 luglio 2006 (scritto con
soluzioni)
e un altro sempre dello stesso appello
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REBUS di mia
invenzione per chi ha studiato (e per chi non e' troppo sensibile al politically correct, dai non
offendetevi, si fa per scherzare!)
Possibili regole per gli esami (in burocratese)
1.
L'esame si costituisce di una prova scritta ed
una prova orale.
2.
La prova scritta si costituisce di un test a risposta multipla ed
alcuni esercizi o domande.
3.
Il test viene svolto per primo e corretto
immediatamente. Coloro che raggiungono la sufficienza possono proseguire con la
seconda parte della prova scritta (compito).
4.
L'orale e' facoltativo per coloro che
raggiungono la sufficienza complessiva (voto test+
voto compito) nella prova scritta.
5.
Durante il test si possono consultare
libri e appunti.
6.
Durante il compito questi NON possono essere consultati.
7.
E' VIETATO durante tutta la prova scritta l'uso
di calcolatrici, cellulari ed altri strumenti elettronici di calcolo o
comunicazione
8.
Durante la prova scritta e' ovviamente vietato
copiare e scambiarsi informazioni o commenti sugli esercizi. Per prevenire
questa forma di abuso e' vietata la messa in atto di
qualsiasi comportamento che possa generare sospetto e quindi anche l'uso di
strumenti analogici di comunicazione privata quali foglietti, bisbigli, gesti piu o meno espliciti, ammiccamenti come a briscola ecc.
Qualsiasi abuso puo' essere sanzionato con punteggi
negativi o ritiro del compito.
9.
Il risultato dello scritto puo' essere conservato per sostenere l'orale ad un appello
successivo (previa comunicazione al docente!) solo nel caso in cui questo
appartenga alla stessa sessione di esame.
10. In ogni caso, la consegna di
qualsiasi prova scritta annulla le precedenti (se ad es
avevi lo scritto sufficiente e consegni il test dell
appello dopo il tuo scritto viene annullato).
Alcuni
consigli
Si ricorda che
nella valutazione della prova scritta la motivazione delle risposte date e la qualita' dell' esposizione sono
molto importanti. Un esercizio, la cui soluzione e'
particolarmente ben esposta e motivata puo' essere
valutato con un punteggio anche molto maggiore di quello massimo indicato nel
testo. Al contrario una risposta corretta ma mancante
di passaggi fondamentali o spiegazioni puo non essere
valutata affatto.
La valutazione
di risposte parziali o esercizi svolti solo in parte e'
in genere difficile. Soprattutto in questi casi il docente cerchera' di valutare il compito nel suo complesso
piuttosto che dare punteggi a singoli passaggi. A questo scopo si ricorda la seguente regola "Un esercizio svolto per
intero vale molto di piu' di due svolti a meta'"
Eventuali errori
gravi (per alcuni esempi di concetti fondamentali su cui lo studente preparato
non dovrebbe avere esitazioni vedi le domande fondamentali elencate sotto)
presenti nel compito possono contribuire negativamente alla valutazione dello
stesso.
La prova orale
in genere comincia con qualche commento e eventuali
domande sulla prova scritta consegnata. Qui lo studente ha la possibilita' di rimediare a qualche errore grave commesso
nel compito (che a volte il docente decide di non valutare per non pregiudicare
troppo il voto). Si consiglia fortemente di prepararsi a questo tipo di domande.
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Programma del corso di ANALISI MATEMATICA I (12 CFU)
PRELIMINARI.
Principio di induzione. Elementi di calcolo
combinatorio. Binomio di Newton.
Funzioni
iniettive, surgettive, invertibili. Immagine e controimmagine di un
sottoinsieme tramite
una
funzione. Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Assioma di
continuità dei numeri reali.
Insiemi
limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e
minimo di un insieme.
Maggioranti
e minoranti. Estremo inferiore e superiore.
LIMITI.
Limite di una successione di numeri reali.
Teoremi di unicità del limite, di permanenza
del
segno, del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del
prodotto, del quoziente. Forme
indeterminate.
Successioni monotone: esistenza del limite. Successioni limitate.
Sottosuccessioni.
Definizione
di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a
quelli per le
successioni.
Limiti notevoli di funzioni. Cambio di variabile nei limiti. Criterio
che lega i limiti di
funzioni
ai limiti di successioni. Successioni definite per ricorrenza.
CALCOLO
DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE. Funzioni
continue e relativi teoremi.
Continuità
delle funzioni elementari. Teoremi di esistenza degli zeri, di
Weierstrass e dei valori
intermedi.
Immagine di una funzione continua su un intervallo. Derivata e
differenziale e loro
interpretazione
geometrica. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della
composizione.
Calcolo
della derivata di funzioni elementari. Legami tra continuità e
derivabilità. Derivata della
funzione
inversa e suo calcolo per funzioni elementari. Teoremi di Rolle e di
Lagrange. Massimi e
minimi.
Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Teorema di de
l'Hopital. Funzioni
convesse.
Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange e applicazioni al
calcolo di errori
nell
approssimazione di funzioni. Studio di funzioni.
CALCOLO
INTEGRALE IN UNA VARIABILE. Integrale di
Riemann per funzioni limitate su
intervalli
limitati. Significato geometrico. Integrabilità delle funzioni
monotone e delle funzioni
continue.
Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Teorema della
media integrale. Teorema
fondamentale
del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua e loro
utilizzo per il calcolo
di
integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari. Formula di
integrazione per parti e per
sostituzione.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrali impropri: dominio di
integrazione non
limitato
oppure integranda non limitata. Criterio del confronto e del
confronto asintotico per lo
studio
della convergenza di un integrale improprio con integrando a segno
costante.
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI. Ordine di un equazione,
equazioni in forma normale. Equazioni
differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari.
Equazioni lineari a coefficienti
costanti di ordine n omogenee e non omogenee con secondo membro in
classi
particolari.
SERIE
NUMERICHE E SERIE DI POTENZE.
Definizione di serie numerica. Condizione
necessaria
per la convergenza di una serie. Serie geometrica e serie armonica.
Serie a termini
positivi:
criteri della radice, del rapporto, del confronto, del confronto
asintotico. Criterio di
Leibnitz
per serie a segno alterno e dell'assoluta convergenza per serie a
segno qualunque.
Programma
del Corso di MATEMATICA (quello vecchio)
Nozioni
preliminari
Gli insiemi e le
funzioni - Nozioni elementari di teoria degli insiemi; il concetto di funzione,
dominio, codominio, immagine; funzioni iniettive, surgettive ed
invertibili.
I numeri - Numeri naturali, interi, razionali e
reali; disequazioni nel campo reale, i numeri complessi
ed il teorema fondamentale algebra (solo enunciato); la formula di Eulero, radici n-esime di un
numero complesso.
Limiti di successioni - Definizioni e prime proprieta , successioni limitate e monotone, operazioni con i limiti,
forme indeterminate, teoremi di confronto, limiti notevoli, il numero e,
successioni definite per ricorrenza.
Continuita - Definizione di continuita , limiti di funzioni, punti di discontinuita,
estremo superiore ed inferiore; teoremi di Bolzano e di Weierstrass e loro conseguenze.
Calcolo differenziale - Definizione di derivata, significato cinematico e geometrico della derivata, regole di
derivazione, derivate delle funzioni elementari, teorema di Fermat , teorema di Rolle, teorema di Lagrange, funzioni monotone, criterio di monotonia,
funzioni convesse e criteri di convessita, il
concetto di limite, formula di Taylor, teoremi di L'Hopital, studio del grafico di funzioni.
Calcolo integrale - Integrale definito e sua
interpretazione geometrica, prime proprieta degli
integrali definiti, teorema della media, integrale indefinito, teorema fondamentale
del calcolo integrale, regole di integrazione.
Funzioni di piu
variabili reali -Derivate
parziali, gradiente, derivate successive, teorema di Schwartz
(senza dimostrazione), ricerca di massimi e minimi, analisi
della matrice hessiana.
Serie -Serie numeriche, convergenza e convergenza
assoluta, serie geometrica, serie armonica generalizzata, criteri di
convergenza, serie a segni
alterni.
Equazioni differenziali- Definizione e classificazione delle
equazioni differenziali, problema di Cauchy teoremi di esistenza e di unicit: 0 (senza
dimostrazioni), equazioni a variabili separabili. Struttura generale
dell'insieme delle soluzioni. Equazioni lineari del primo ordine: formula
risolutiva esplicita. Equazioni lineari omogenee a coefficienti
costanti: struttura della soluzione generale e metodi
di calcolo esplicito. Equazioni lineari non omogenee di tipo particolare. Metodo dei coefficienti indeterminati..
Alcune
domande fondamentali per la prova orale
Presentarsi e' vivamente sconsigliato a chi non
sa cosa rispondere ad almeno una di queste.
Ovviamente questa lista di domande non puo
pretendere di contenere tutte le domande fondamentali
possibili. Questa lista deve essere intesa come strumento di autovalutazione.
Algebra Lineare
Cosa Èuno spazio vettoriale?
Cosa Èun sottospazio vettoriale?
Cosa È una combinazione lineare?
Cosa È il sottospazio generato da un insieme?
Cosa È un insieme di vettori linearmente indipendenti?
Cosa È una base?
Due basi di uno stesso spazio hanno la stessa cardinalita ?
Cosa È la dimensione di uno spazio vettoriale?
Come si trova l`equazione di un piano
passante per un punto e ortogonale ad un vettore dato?
Cosa È una funzione lineare?
Cosa c’entra con le matrici?
Come si trova la matrice associata ad una funzione lineare (data
la scelta della base)?
Cosa sono il rango ed il determinante e
come si calcolano ? (in generale, non su matrici 2x2 o 3x3)
Cosa sono il nucleo e l’immagine di una funzione lineare?
Che relazione c’e’ con il rango?
Cosa c’entrano i sistemi lineari con le funzioni lineari?
Cosa dice il teorema di Rouche
Capelli e a cosa serve nellostudio dei sistemi
lineari?
Come funziona e a che serve il metodo di Gauss?
Cosa È un autovalore?
Come cambia la matrice associata ad una funzione lineare quando sicambia la base?
Cosa È un prodotto scalare e cosa c’entra con le matrici?
Cosa È un’applicazione ortogonale e cosa c’entra con i prodotti
scalari?
Come si diagonalizza una matrice simmetrica e a cosa serve farlo?
Analisi (alcune domande richiedono un minimo di riflessione e
l'uso di alcuni risultati teorici fondamentali)
Quale È la definizione di continuita ?
Se f È strettamente crescente, continua, f(-10)=35, f(10)=55, quante sono le soluzioni di f(x)=54?
Una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato
ha un massimo?
Che differenza c`e` fra massimo e sup?
Quale È la definizione della derivata di una funzione e come si
calcola in genere?
Una funzione derivabile È continua? Come si dimostra? Vale
il viceversa?
In quali punti f(x)=sen(1/x) (con f(0)=0) È continua?
Esiste una funzione strettamente crescente ma non continua?
In quali punti f(x)=|x| È derivabile?
In quali punti f(x)=xsen(1/x) (con
f(0)=0) È continua?
In quali punti f(x)=x*x*sen(1/x) (con f(0)=0) È derivabile?
Se f(x) È derivabile e f(x)=0 ha infinite
soluzioni quante soluzioni ha f’
(x)=0?
Che relazione c’È fra la derivata e la crescenza-decrescenza
di una funzione?
Che relazione c’È fra la derivata e la concavità -convessità di una funzione?
Come si definisce l’integrale? Che
relazione c’È con la derivata?
Come si calcola l’integrale da -2 a 3 della funzione f(x)= xsen(x) ? della funzione f(x)=|sen(x)-x|? Della funzione | x|/x?
Cosa È una
equazione differenziale lineare?
Cosa c’entrano queste equazioni con l’algebra lineare?
Cosa È un problema di Cauchy?
Quale È l’interpretazione
geometrica del problema di Cauchy?
Sotto quali condizioni sappiamo che una soluzione esiste?
Se y’=F(x ,y)
con F(x,y)>0 per ogni x e y, e y(0)=3 allora y(x) puo
avere un massimo locale in 7?
Come si risolve
un problema di Cauchy lineare del primo ordine?
Dispensine di Claudia (argomenti fatti ad esercitazione)